Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlfcllem Unicode version

Theorem evlfcllem 13995
 Description: Lemma for evlfcl 13996. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
evlfcl.e evalF
evlfcl.q FuncCat
evlfcl.c
evlfcl.d
evlfcl.n Nat
evlfcl.f
evlfcl.g
evlfcl.h
evlfcl.a
evlfcl.b
Assertion
Ref Expression
evlfcllem comp c comp

Proof of Theorem evlfcllem
StepHypRef Expression
1 evlfcl.e . . . 4 evalF
2 evlfcl.c . . . 4
3 evlfcl.d . . . 4
4 eqid 2283 . . . 4
5 eqid 2283 . . . 4
6 eqid 2283 . . . 4 comp comp
7 evlfcl.n . . . 4 Nat
8 evlfcl.f . . . . 5
98simpld 445 . . . 4
10 evlfcl.h . . . . 5
1110simpld 445 . . . 4
128simprd 449 . . . 4
1310simprd 449 . . . 4
14 eqid 2283 . . . 4
15 evlfcl.q . . . . 5 FuncCat
16 eqid 2283 . . . . 5 comp comp
17 evlfcl.a . . . . . 6
1817simpld 445 . . . . 5
19 evlfcl.b . . . . . 6
2019simpld 445 . . . . 5
2115, 7, 16, 18, 20fuccocl 13838 . . . 4 comp
22 eqid 2283 . . . . 5 comp comp
23 evlfcl.g . . . . . 6
2423simprd 449 . . . . 5
2517simprd 449 . . . . 5
2619simprd 449 . . . . 5
274, 5, 22, 2, 12, 24, 13, 25, 26catcocl 13587 . . . 4 comp
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 21, 27evlf2val 13993 . . 3 comp comp comp comp comp
2915, 7, 4, 6, 16, 18, 20, 13fuccoval 13837 . . . 4 comp comp
3029oveq1d 5873 . . 3 comp comp comp comp comp comp
31 relfunc 13736 . . . . . . 7
32 1st2ndbr 6169 . . . . . . 7
3331, 9, 32sylancr 644 . . . . . 6
344, 5, 22, 6, 33, 12, 24, 13, 25, 26funcco 13745 . . . . 5 comp comp
3534oveq2d 5874 . . . 4 comp comp comp comp comp comp
367, 18nat1st2nd 13825 . . . . . . . . 9
377, 36, 4, 5, 6, 24, 13, 26nati 13829 . . . . . . . 8 comp comp
3837oveq2d 5874 . . . . . . 7 comp comp comp comp
39 eqid 2283 . . . . . . . 8
40 eqid 2283 . . . . . . . 8
414, 39, 33funcf1 13740 . . . . . . . . 9
4241, 24ffvelrnd 5666 . . . . . . . 8
4341, 13ffvelrnd 5666 . . . . . . . 8
4423simpld 445 . . . . . . . . . . 11
45 1st2ndbr 6169 . . . . . . . . . . 11
4631, 44, 45sylancr 644 . . . . . . . . . 10
474, 39, 46funcf1 13740 . . . . . . . . 9
4847, 13ffvelrnd 5666 . . . . . . . 8
494, 5, 40, 33, 24, 13funcf2 13742 . . . . . . . . 9
5049, 26ffvelrnd 5666 . . . . . . . 8
517, 36, 4, 40, 13natcl 13827 . . . . . . . 8
52 1st2ndbr 6169 . . . . . . . . . . 11
5331, 11, 52sylancr 644 . . . . . . . . . 10
544, 39, 53funcf1 13740 . . . . . . . . 9
5554, 13ffvelrnd 5666 . . . . . . . 8
567, 20nat1st2nd 13825 . . . . . . . . 9
577, 56, 4, 40, 13natcl 13827 . . . . . . . 8
5839, 40, 6, 3, 42, 43, 48, 50, 51, 55, 57catass 13588 . . . . . . 7 comp comp comp comp
5947, 24ffvelrnd 5666 . . . . . . . 8
607, 36, 4, 40, 24natcl 13827 . . . . . . . 8
614, 5, 40, 46, 24, 13funcf2 13742 . . . . . . . . 9
6261, 26ffvelrnd 5666 . . . . . . . 8
6339, 40, 6, 3, 42, 59, 48, 60, 62, 55, 57catass 13588 . . . . . . 7 comp comp comp comp
6438, 58, 633eqtr4d 2325 . . . . . 6 comp comp comp comp
6564oveq1d 5873 . . . . 5 comp comp comp comp comp comp
6641, 12ffvelrnd 5666 . . . . . 6
674, 5, 40, 33, 12, 24funcf2 13742 . . . . . . 7
6867, 25ffvelrnd 5666 . . . . . 6
6939, 40, 6, 3, 43, 48, 55, 51, 57catcocl 13587 . . . . . 6 comp
7039, 40, 6, 3, 66, 42, 43, 68, 50, 55, 69catass 13588 . . . . 5 comp comp comp comp comp comp
7139, 40, 6, 3, 59, 48, 55, 62, 57catcocl 13587 . . . . . 6 comp
7239, 40, 6, 3, 66, 42, 59, 68, 60, 55, 71catass 13588 . . . . 5 comp comp comp comp comp comp
7365, 70, 723eqtr3d 2323 . . . 4 comp comp comp comp comp comp
7435, 73eqtrd 2315 . . 3 comp comp comp comp comp comp
7528, 30, 743eqtrd 2319 . 2 comp comp comp comp comp
76 eqid 2283 . . . . 5 c c
7715fucbas 13834 . . . . 5
7815, 7fuchom 13835 . . . . 5
79 eqid 2283 . . . . 5 comp c comp c
8076, 77, 4, 78, 5, 9, 12, 44, 24, 16, 22, 79, 11, 13, 18, 25, 20, 26xpcco2 13961 . . . 4 comp c comp comp
8180fveq2d 5529 . . 3 comp c comp comp
82 df-ov 5861 . . 3 comp comp comp comp
8381, 82syl6eqr 2333 . 2 comp c comp comp
84 df-ov 5861 . . . . . 6
851, 2, 3, 4, 9, 12evlf1 13994 . . . . . 6
8684, 85syl5eqr 2329 . . . . 5
87 df-ov 5861 . . . . . 6
881, 2, 3, 4, 44, 24evlf1 13994 . . . . . 6
8987, 88syl5eqr 2329 . . . . 5
9086, 89opeq12d 3804 . . . 4
91 df-ov 5861 . . . . 5
921, 2, 3, 4, 11, 13evlf1 13994 . . . . 5
9391, 92syl5eqr 2329 . . . 4
9490, 93oveq12d 5876 . . 3 comp comp
95 df-ov 5861 . . . 4
96 eqid 2283 . . . . 5
971, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 44, 11, 24, 13, 96, 20, 26evlf2val 13993 . . . 4 comp
9895, 97syl5eqr 2329 . . 3 comp
99 df-ov 5861 . . . 4
100 eqid 2283 . . . . 5
1011, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 44, 12, 24, 100, 18, 25evlf2val 13993 . . . 4 comp
10299, 101syl5eqr 2329 . . 3 comp
10394, 98, 102oveq123d 5879 . 2 comp comp comp comp
10475, 83, 1033eqtr4d 2325 1 comp c comp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cop 3643   class class class wbr 4023   wrel 4694  cfv 5255  (class class class)co 5858  c1st 6120  c2nd 6121  cbs 13148   chom 13219  compcco 13220  ccat 13566   cfunc 13728   Nat cnat 13815   FuncCat cfuc 13816   c cxpc 13942   evalF cevlf 13983 This theorem is referenced by:  evlfcl  13996 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-hom 13232  df-cco 13233  df-cat 13570  df-func 13732  df-nat 13817  df-fuc 13818  df-xpc 13946  df-evlf 13987
 Copyright terms: Public domain W3C validator