Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlseu Structured version   Unicode version

Theorem evlseu 19942
 Description: For a given intepretation of the variables and of the scalars , this extends to a homomorphic interpretation of the polynomial ring in exactly one way. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlseu.p mPoly
evlseu.c
evlseu.a algSc
evlseu.v mVar
evlseu.i
evlseu.r
evlseu.s
evlseu.f RingHom
evlseu.g
Assertion
Ref Expression
evlseu RingHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem evlseu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlseu.p . . . 4 mPoly
2 eqid 2438 . . . 4
3 evlseu.c . . . 4
4 eqid 2438 . . . 4
5 eqid 2438 . . . 4
6 eqid 2438 . . . 4 mulGrp mulGrp
7 eqid 2438 . . . 4 .gmulGrp .gmulGrp
8 eqid 2438 . . . 4
9 evlseu.v . . . 4 mVar
10 eqid 2438 . . . 4 g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
11 evlseu.i . . . 4
12 evlseu.r . . . 4
13 evlseu.s . . . 4
14 evlseu.f . . . 4 RingHom
15 evlseu.g . . . 4
16 evlseu.a . . . 4 algSc
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16evlslem1 19941 . . 3 g mulGrp g .gmulGrp RingHom g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
18 coeq1 5033 . . . . . . 7 g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
1918eqeq1d 2446 . . . . . 6 g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
20 coeq1 5033 . . . . . . 7 g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
2120eqeq1d 2446 . . . . . 6 g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
2219, 21anbi12d 693 . . . . 5 g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
2322rspcev 3054 . . . 4 g mulGrp g .gmulGrp RingHom g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp RingHom
24233impb 1150 . . 3 g mulGrp g .gmulGrp RingHom g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp RingHom
2517, 24syl 16 . 2 RingHom
26 crngrng 15679 . . . . . . . . . . 11
2712, 26syl 16 . . . . . . . . . 10
28 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
291mplrng 16520 . . . . . . . . . . 11
301mpllmod 16519 . . . . . . . . . . 11
31 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
3216, 28, 29, 30, 31, 2asclf 16401 . . . . . . . . . 10 Scalar
3311, 27, 32syl2anc 644 . . . . . . . . 9 Scalar
34 ffun 5596 . . . . . . . . 9 Scalar
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8
36 funcoeqres 5709 . . . . . . . 8
3735, 36sylan 459 . . . . . . 7
381, 9, 2, 11, 27mvrf2 16557 . . . . . . . . 9
39 ffun 5596 . . . . . . . . 9
4038, 39syl 16 . . . . . . . 8
41 funcoeqres 5709 . . . . . . . 8
4240, 41sylan 459 . . . . . . 7
4337, 42anim12dan 812 . . . . . 6
4443ex 425 . . . . 5
45 resundi 5163 . . . . . 6
46 uneq12 3498 . . . . . 6
4745, 46syl5eq 2482 . . . . 5
4844, 47syl6 32 . . . 4
4948ralrimivw 2792 . . 3 RingHom
50 eqtr3 2457 . . . . . 6
51 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer mPwSer
5251, 11, 12psrassa 16482 . . . . . . . . . . . 12 mPwSer AssAlg
53 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14 mPwSer mPwSer
5451, 9, 53, 11, 27mvrf 16493 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer
55 frn 5600 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer mPwSer
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12 mPwSer
57 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 AlgSpan mPwSer AlgSpan mPwSer
58 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 algSc mPwSer algSc mPwSer
59 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 mrClsSubRing mPwSer mrClsSubRing mPwSer
6057, 58, 59, 53aspval2 16410 . . . . . . . . . . . 12 mPwSer AssAlg mPwSer AlgSpan mPwSer mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer
6152, 56, 60syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11 AlgSpan mPwSer mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer
621, 51, 9, 57, 11, 12mplbas2 16536 . . . . . . . . . . 11 AlgSpan mPwSer
6351, 1, 2, 11, 27mplsubrg 16508 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubRing mPwSer
641, 51, 2mplval2 16500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mPwSer s
6564subsubrg2 15900 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubRing mPwSer SubRing SubRing mPwSer
6663, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 SubRing SubRing mPwSer
6766fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13 mrClsSubRing mrClsSubRing mPwSer
6858, 64ressascl 16407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubRing mPwSer algSc mPwSer algSc
6963, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 algSc mPwSer algSc
7069, 16syl6reqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15 algSc mPwSer
7170rneqd 5100 . . . . . . . . . . . . . 14 algSc mPwSer
7271uneq1d 3502 . . . . . . . . . . . . 13 algSc mPwSer
7367, 72fveq12d 5737 . . . . . . . . . . . 12 mrClsSubRing mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer
74 assarng 16385 . . . . . . . . . . . . . 14 mPwSer AssAlg mPwSer
7553subrgmre 15897 . . . . . . . . . . . . . 14 mPwSer SubRing mPwSer Moore mPwSer
7652, 74, 753syl 19 . . . . . . . . . . . . 13 SubRing mPwSer Moore mPwSer
77 frn 5600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
7833, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
7971, 78eqsstr3d 3385 . . . . . . . . . . . . . 14 algSc mPwSer
80 frn 5600 . . . . . . . . . . . . . . 15
8138, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
8279, 81unssd 3525 . . . . . . . . . . . . 13 algSc mPwSer
83 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14 mrClsSubRing mPwSer mrClsSubRing mPwSer
8459, 83submrc 13858 . . . . . . . . . . . . 13 SubRing mPwSer Moore mPwSer SubRing mPwSer algSc mPwSer mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer
8576, 63, 82, 84syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12 mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer
8673, 85eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer mrClsSubRing
8761, 62, 863eqtr3d 2478 . . . . . . . . . 10 mrClsSubRing
8887ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 RingHom RingHom mrClsSubRing
8911, 27, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
902subrgmre 15897 . . . . . . . . . . . 12 SubRing Moore
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11 SubRing Moore
9291ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 RingHom RingHom SubRing Moore
93 simpr 449 . . . . . . . . . 10 RingHom RingHom
94 rhmeql 15903 . . . . . . . . . . 11 RingHom RingHom SubRing
9594ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10 RingHom RingHom SubRing
96 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubRing mrClsSubRing
9796mrcsscl 13850 . . . . . . . . . 10 SubRing Moore SubRing mrClsSubRing
9892, 93, 95, 97syl3anc 1185 . . . . . . . . 9 RingHom RingHom mrClsSubRing
9988, 98eqsstrd 3384 . . . . . . . 8 RingHom RingHom
10099ex 425 . . . . . . 7 RingHom RingHom
101 simprl 734 . . . . . . . . 9 RingHom RingHom RingHom
1022, 3rhmf 15832 . . . . . . . . 9 RingHom
103 ffn 5594 . . . . . . . . 9
104101, 102, 1033syl 19 . . . . . . . 8 RingHom RingHom
105 simprr 735 . . . . . . . . 9 RingHom RingHom RingHom
1062, 3rhmf 15832 . . . . . . . . 9 RingHom
107 ffn 5594 . . . . . . . . 9
108105, 106, 1073syl 19 . . . . . . . 8 RingHom RingHom
10978adantr 453 . . . . . . . . 9 RingHom RingHom
11081adantr 453 . . . . . . . . 9 RingHom RingHom
111109, 110unssd 3525 . . . . . . . 8 RingHom RingHom
112 fnreseql 5843 . . . . . . . 8
113104, 108, 111, 112syl3anc 1185 . . . . . . 7 RingHom RingHom
114 fneqeql2 5842 . . . . . . . 8
115104, 108, 114syl2anc 644 . . . . . . 7 RingHom RingHom
116100, 113, 1153imtr4d 261 . . . . . 6 RingHom RingHom
11750, 116syl5 31 . . . . 5 RingHom RingHom
118117ralrimivva 2800 . . . 4 RingHom RingHom
119 reseq1 5143 . . . . . 6
120119eqeq1d 2446 . . . . 5
121120rmo4 3129 . . . 4 RingHom RingHom RingHom
122118, 121sylibr 205 . . 3 RingHom
123 rmoim 3135 . . 3 RingHom RingHom RingHom
12449, 122, 123sylc 59 . 2 RingHom
125 reu5 2923 . 2 RingHom RingHom RingHom
12625, 124, 125sylanbrc 647 1 RingHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  wreu 2709  wrmo 2710  crab 2711  cvv 2958   cun 3320   cin 3321   wss 3322  cpw 3801   cmpt 4269  ccnv 4880   cdm 4881   crn 4882   cres 4883  cima 4884   ccom 4885   wfun 5451   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cof 6306   cmap 7021  cfn 7112  cn 10005  cn0 10226  cbs 13474  cmulr 13535  Scalarcsca 13537   g cgsu 13729  Moorecmre 13812  mrClscmrc 13813  .gcmg 14694  mulGrpcmgp 15653  crg 15665  ccrg 15666   RingHom crh 15822  SubRingcsubrg 15869  AssAlgcasa 16374  AlgSpancasp 16375  algSccascl 16376   mPwSer cmps 16411   mVar cmvr 16412   mPoly cmpl 16413 This theorem is referenced by:  evlsval2  19946 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-rnghom 15824  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-assa 16377  df-asp 16378  df-ascl 16379  df-psr 16422  df-mvr 16423  df-mpl 16424
 Copyright terms: Public domain W3C validator