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Theorem evlslem1 19928
Description: Lemma for evlseu 19929, give a formula for (the unique) polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
evlslem1.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
evlslem1.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
evlslem1.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
evlslem1.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
evlslem1.t  |-  T  =  (mulGrp `  S )
evlslem1.x  |-  .^  =  (.g
`  T )
evlslem1.m  |-  .x.  =  ( .r `  S )
evlslem1.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
evlslem1.e  |-  E  =  ( p  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
evlslem1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
evlslem1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evlslem1.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlslem1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
evlslem1.g  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
evlslem1.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
evlslem1  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( P RingHom  S )  /\  ( E  o.  A )  =  F  /\  ( E  o.  V )  =  G ) )
Distinct variable groups:    p, b, B    C, b, p    ph, b, p    F, b, p    K, b    T, b, p    D, b, p    h, b, I, p    R, b, h, p    G, b, p    P, b, p    S, b, p    .x. , b, p   
.^ , b, p
Allowed substitution hints:    ph( h)    A( h, p, b)    B( h)    C( h)    D( h)    P( h)    S( h)    T( h)    .x. (
h)    E( h, p, b)    .^ ( h)    F( h)    G( h)    K( h, p)    V( h, p, b)

Proof of Theorem evlslem1
Dummy variables  x  v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
3 eqid 2435 . . 3  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
4 eqid 2435 . . 3  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
5 evlslem1.m . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  S )
6 evlslem1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
7 evlslem1.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
8 crngrng 15666 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 evlslem1.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
1110mplrng 16507 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
126, 9, 11syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
13 evlslem1.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
14 crngrng 15666 . . . 4  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
16 evlslem1.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  R
)
17 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
1816, 17rngidcl 15676 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  K )
199, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  K )
20 evlslem1.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
21 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
22 evlslem1.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (algSc `  P )
236adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  I  e.  _V )
249adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  R  e.  Ring )
25 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  x  e.  K )
2610, 20, 21, 16, 22, 23, 24, 25mplascl 16548 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( A `  x )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  R ) ) ) )
2726fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( E `  ( A `  x ) )  =  ( E `  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
28 evlslem1.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( Base `  S
)
29 evlslem1.t . . . . . . . 8  |-  T  =  (mulGrp `  S )
30 evlslem1.x . . . . . . . 8  |-  .^  =  (.g
`  T )
31 evlslem1.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( I mVar  R )
32 evlslem1.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( p  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
337adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  R  e.  CRing )
3413adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  S  e.  CRing )
35 evlslem1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
3635adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  F  e.  ( R RingHom  S )
)
37 evlslem1.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
3837adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  G : I --> C )
3920psrbag0 16546 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  _V  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
406, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } )  e.  D )
4140adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
4210, 1, 28, 16, 20, 29, 30, 5, 31, 32, 23, 33, 34, 36, 38, 21, 41, 25evlslem3 19927 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( E `  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  R
) ) ) )  =  ( ( F `
 x )  .x.  ( T  gsumg  ( ( I  X.  { 0 } )  o F  .^  G
) ) ) )
43 0z 10285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  0  e.  ZZ )
45 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  _V )
47 fconstmpt 4913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  I  |->  0 )
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } )  =  ( x  e.  I  |->  0 ) )
4937feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  I  |->  ( G `
 x ) ) )
506, 44, 46, 48, 49offval2 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I  X.  { 0 } )  o F  .^  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( 0 
.^  ( G `  x ) ) ) )
5137ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  C )
5229, 28mgpbas 15646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  =  ( Base `  T
)
5329, 3rngidval 15658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 0g `  T
)
5452, 53, 30mulg0 14887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  x )  e.  C  ->  (
0  .^  ( G `  x ) )  =  ( 1r `  S
) )
5551, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
0  .^  ( G `  x ) )  =  ( 1r `  S
) )
5655mpteq2dva 4287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( 0  .^  ( G `  x )
) )  =  ( x  e.  I  |->  ( 1r `  S ) ) )
5750, 56eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( I  X.  { 0 } )  o F  .^  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( 1r
`  S ) ) )
5857oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T  gsumg  ( ( I  X.  { 0 } )  o F  .^  G
) )  =  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( 1r `  S
) ) ) )
5929crngmgp 15664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  CRing  ->  T  e. CMnd )
6013, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
61 cmnmnd 15419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. CMnd  ->  T  e.  Mnd )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  Mnd )
6353gsumz 14773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  I  e.  _V )  ->  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( 1r `  S
) ) )  =  ( 1r `  S
) )
6462, 6, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( 1r `  S
) ) )  =  ( 1r `  S
) )
6558, 64eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  gsumg  ( ( I  X.  { 0 } )  o F  .^  G
) )  =  ( 1r `  S ) )
6665adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( T  gsumg  ( ( I  X.  { 0 } )  o F  .^  G
) )  =  ( 1r `  S ) )
6766oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (
( F `  x
)  .x.  ( T  gsumg  ( ( I  X.  {
0 } )  o F  .^  G )
) )  =  ( ( F `  x
)  .x.  ( 1r `  S ) ) )
6815adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  S  e.  Ring )
6916, 28rhmf 15819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : K
--> C )
7035, 69syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : K --> C )
7170ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( F `  x )  e.  C )
7228, 5, 3rngridm 15680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( F `  x )  e.  C )  ->  (
( F `  x
)  .x.  ( 1r `  S ) )  =  ( F `  x
) )
7368, 71, 72syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (
( F `  x
)  .x.  ( 1r `  S ) )  =  ( F `  x
) )
7467, 73eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (
( F `  x
)  .x.  ( T  gsumg  ( ( I  X.  {
0 } )  o F  .^  G )
) )  =  ( F `  x ) )
7527, 42, 743eqtrd 2471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( E `  ( A `  x ) )  =  ( F `  x
) )
7675ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( E `  ( A `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
77 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  ( A `  x )  =  ( A `  ( 1r `  R ) ) )
7877fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  ( E `  ( A `  x ) )  =  ( E `  ( A `  ( 1r `  R ) ) ) )
79 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 1r `  R ) ) )
8078, 79eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( E `  ( A `  x )
)  =  ( F `
 x )  <->  ( E `  ( A `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( F `
 ( 1r `  R ) ) ) )
8180rspcva 3042 . . . . 5  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( E `  ( A `
 x ) )  =  ( F `  x ) )  -> 
( E `  ( A `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( F `  ( 1r `  R ) ) )
8219, 76, 81syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E `  ( A `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( F `  ( 1r `  R ) ) )
8310mplassa 16509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e. AssAlg )
846, 7, 83syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e. AssAlg )
85 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
8622, 85asclrhm 16392 . . . . . . . 8  |-  ( P  e. AssAlg  ->  A  e.  ( (Scalar `  P ) RingHom  P ) )
8784, 86syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (Scalar `  P ) RingHom  P ) )
8810, 6, 7mplsca 16500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
8988oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R RingHom  P )  =  ( (Scalar `  P ) RingHom  P ) )
9087, 89eleqtrrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( R RingHom  P ) )
9117, 2rhm1 15823 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( R RingHom  P
)  ->  ( A `  ( 1r `  R
) )  =  ( 1r `  P ) )
9290, 91syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  P ) )
9392fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E `  ( A `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( E `  ( 1r `  P ) ) )
9417, 3rhm1 15823 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F `  ( 1r `  R
) )  =  ( 1r `  S ) )
9535, 94syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  S ) )
9682, 93, 953eqtr3d 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  ( 1r `  P ) )  =  ( 1r `  S ) )
97 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
98 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
99 rnggrp 15661 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
10012, 99syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
101 rnggrp 15661 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
10215, 101syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
103 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
104 rngcmn 15686 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. CMnd
)
10515, 104syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e. CMnd )
106105adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  B )  ->  S  e. CMnd )
107 ovex 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
108107rabex 4346 . . . . . . . . 9  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
10920, 108eqeltri 2505 . . . . . . . 8  |-  D  e. 
_V
110109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  B )  ->  D  e.  _V )
1116adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  B )  ->  I  e.  _V )
1127adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
11313adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  B )  ->  S  e.  CRing )
11435adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  B )  ->  F  e.  ( R RingHom  S )
)
11537adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  B )  ->  G : I --> C )
116 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  B )  ->  p  e.  B )
11710, 1, 28, 16, 20, 29, 30, 5, 31, 32, 111, 112, 113, 114, 115, 116evlslem6 19926 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  B )  ->  (
( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) : D --> C  /\  ( `' ( b  e.  D  |->  ( ( F `  (
p `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin ) )
118117simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  B )  ->  (
b  e.  D  |->  ( ( F `  (
p `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) ) : D --> C )
119117simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  B )  ->  ( `' ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 ( p `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin )
12028, 103, 106, 110, 118, 119gsumcl 15513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  B )  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  e.  C )
121120, 32fmptd 5885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E : B --> C )
122 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
123 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  x  e.  B )
124 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  y  e.  B )
12510, 1, 122, 97, 123, 124mpladd 16497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  (
x ( +g  `  P
) y )  =  ( x  o F ( +g  `  R
) y ) )
126125fveq1d 5722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  (
( x ( +g  `  P ) y ) `
 b )  =  ( ( x  o F ( +g  `  R
) y ) `  b ) )
127 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
12810, 16, 1, 20, 127mplelf 16489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x : D --> K )
129 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x : D --> K  ->  x  Fn  D )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  Fn  D )
131130adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  x  Fn  D )
132 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
13310, 16, 1, 20, 132mplelf 16489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y : D --> K )
134 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y : D --> K  -> 
y  Fn  D )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  Fn  D )
136135adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  y  Fn  D )
137109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  D  e.  _V )
138 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  b  e.  D )
139 fnfvof 6309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  Fn  D  /\  y  Fn  D
)  /\  ( D  e.  _V  /\  b  e.  D ) )  -> 
( ( x  o F ( +g  `  R
) y ) `  b )  =  ( ( x `  b
) ( +g  `  R
) ( y `  b ) ) )
140131, 136, 137, 138, 139syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  (
( x  o F ( +g  `  R
) y ) `  b )  =  ( ( x `  b
) ( +g  `  R
) ( y `  b ) ) )
141126, 140eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  (
( x ( +g  `  P ) y ) `
 b )  =  ( ( x `  b ) ( +g  `  R ) ( y `
 b ) ) )
142141fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  ( F `  ( (
x ( +g  `  P
) y ) `  b ) )  =  ( F `  (
( x `  b
) ( +g  `  R
) ( y `  b ) ) ) )
143 rhmghm 15818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
14435, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R 
GrpHom  S ) )
145144ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
146128ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  (
x `  b )  e.  K )
147133ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  (
y `  b )  e.  K )
14816, 122, 98ghmlin 15003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( R 
GrpHom  S )  /\  (
x `  b )  e.  K  /\  (
y `  b )  e.  K )  ->  ( F `  ( (
x `  b )
( +g  `  R ) ( y `  b
) ) )  =  ( ( F `  ( x `  b
) ) ( +g  `  S ) ( F `
 ( y `  b ) ) ) )
149145, 146, 147, 148syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  ( F `  ( (
x `  b )
( +g  `  R ) ( y `  b
) ) )  =  ( ( F `  ( x `  b
) ) ( +g  `  S ) ( F `
 ( y `  b ) ) ) )
150142, 149eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  ( F `  ( (
x ( +g  `  P
) y ) `  b ) )  =  ( ( F `  ( x `  b
) ) ( +g  `  S ) ( F `
 ( y `  b ) ) ) )
151150oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  (
( F `  (
( x ( +g  `  P ) y ) `
 b ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) )  =  ( ( ( F `
 ( x `  b ) ) ( +g  `  S ) ( F `  (
y `  b )
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )
15215ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  S  e.  Ring )
15370ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  F : K --> C )
154153, 146ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  ( F `  ( x `  b ) )  e.  C )
155153, 147ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  ( F `  ( y `  b ) )  e.  C )
15660ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  T  e. CMnd )
15737ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  G : I --> C )
1586ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  I  e.  _V )
15920, 52, 30, 53, 156, 138, 157, 158psrbagev2 16559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) )  e.  C )
16028, 98, 5rngdir 15675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  (
( F `  (
x `  b )
)  e.  C  /\  ( F `  ( y `
 b ) )  e.  C  /\  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) )  e.  C ) )  ->  ( ( ( F `  ( x `
 b ) ) ( +g  `  S
) ( F `  ( y `  b
) ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( ( ( F `  (
x `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) ( +g  `  S
) ( ( F `
 ( y `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )
161152, 154, 155, 159, 160syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  (
( ( F `  ( x `  b
) ) ( +g  `  S ) ( F `
 ( y `  b ) ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) )  =  ( ( ( F `
 ( x `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ( +g  `  S
) ( ( F `
 ( y `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )
162151, 161eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  (
( F `  (
( x ( +g  `  P ) y ) `
 b ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) )  =  ( ( ( F `
 ( x `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ( +g  `  S
) ( ( F `
 ( y `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )
163162mpteq2dva 4287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x ( +g  `  P ) y ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( ( F `  ( x `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ( +g  `  S
) ( ( F `
 ( y `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
164109a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  D  e.  _V )
165 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  ( x `
 b ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) )  e. 
_V
166165a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  (
( F `  (
x `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) )  e.  _V )
167 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  ( y `
 b ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) )  e. 
_V
168167a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  b  e.  D )  ->  (
( F `  (
y `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) )  e.  _V )
169 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( x `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  (
x `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) ) )
170 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( y `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  (
y `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) ) )
171164, 166, 168, 169, 170offval2 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 ( x `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )  o F ( +g  `  S
) ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 ( y `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( ( F `
 ( x `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ( +g  `  S
) ( ( F `
 ( y `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
172163, 171eqtr4d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x ( +g  `  P ) y ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )  =  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( x `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )  o F ( +g  `  S
) ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 ( y `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
173172oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x ( +g  `  P ) y ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 ( x `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )  o F ( +g  `  S
) ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 ( y `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) ) )
174105adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e. CMnd )
1756adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  I  e.  _V )
1767adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  R  e.  CRing )
17713adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e.  CRing )
17835adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
17937adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  G : I --> C )
18010, 1, 28, 16, 20, 29, 30, 5, 31, 32, 175, 176, 177, 178, 179, 127evlslem6 19926 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 ( x `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) : D --> C  /\  ( `' ( b  e.  D  |->  ( ( F `  (
x `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin ) )
181180simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( x `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) : D --> C )
18210, 1, 28, 16, 20, 29, 30, 5, 31, 32, 175, 176, 177, 178, 179, 132evlslem6 19926 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 ( y `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) : D --> C  /\  ( `' ( b  e.  D  |->  ( ( F `  (
y `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin ) )
183182simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( y `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) : D --> C )
184180simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( x `
 b ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  S ) } ) )  e.  Fin )
185182simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( y `
 b ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  S ) } ) )  e.  Fin )
18628, 103, 98, 174, 164, 181, 183, 184, 185gsumadd 15520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 ( x `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )  o F ( +g  `  S
) ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 ( y `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )  =  ( ( S 
gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( x `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) ( +g  `  S ) ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( y `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) ) )
187173, 186eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x ( +g  `  P ) y ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( x `
 b ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) ) ) ) ( +g  `  S
) ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( y `
 b ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) ) ) ) ) )
188100adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  P  e.  Grp )
1891, 97grpcl 14810 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  P ) y )  e.  B )
190188, 127, 132, 189syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  P ) y )  e.  B )
191 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  ( x ( +g  `  P ) y )  ->  (
p `  b )  =  ( ( x ( +g  `  P
) y ) `  b ) )
192191fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  ( x ( +g  `  P ) y )  ->  ( F `  ( p `  b ) )  =  ( F `  (
( x ( +g  `  P ) y ) `
 b ) ) )
193192oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( x ( +g  `  P ) y )  ->  (
( F `  (
p `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) )  =  ( ( F `
 ( ( x ( +g  `  P
) y ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )
194193mpteq2dv 4288 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( x ( +g  `  P ) y )  ->  (
b  e.  D  |->  ( ( F `  (
p `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x ( +g  `  P
) y ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )
195194oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( x ( +g  `  P ) y )  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x ( +g  `  P ) y ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
196 ovex 6098 . . . . . . . 8  |-  ( S 
gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x ( +g  `  P ) y ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  e. 
_V
197195, 32, 196fvmpt 5798 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( +g  `  P
) y )  e.  B  ->  ( E `  ( x ( +g  `  P ) y ) )  =  ( S 
gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x ( +g  `  P ) y ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
198190, 197syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( +g  `  P
) y ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x ( +g  `  P
) y ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
199 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  x  ->  (
p `  b )  =  ( x `  b ) )
200199fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  x  ->  ( F `  ( p `  b ) )  =  ( F `  (
x `  b )
) )
201200oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  x  ->  (
( F `  (
p `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) )  =  ( ( F `
 ( x `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )
202201mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  x  ->  (
b  e.  D  |->  ( ( F `  (
p `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( x `
 b ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) ) ) )
203202oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  x  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( x `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
204 ovex 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( x `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  e. 
_V
205203, 32, 204fvmpt 5798 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  ( E `  x )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( x `
 b ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) ) ) ) )
206127, 205syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  x
)  =  ( S 
gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( x `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
207 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  y  ->  (
p `  b )  =  ( y `  b ) )
208207fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  y  ->  ( F `  ( p `  b ) )  =  ( F `  (
y `  b )
) )
209208oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  y  ->  (
( F `  (
p `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) )  =  ( ( F `
 ( y `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )
210209mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  y  ->  (
b  e.  D  |->  ( ( F `  (
p `  b )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( y `
 b ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) ) ) )
211210oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  y  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( y `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
212 ovex 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( y `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  e. 
_V
213211, 32, 212fvmpt 5798 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  ( E `  y )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( y `
 b ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) ) ) ) )
214213ad2antll 710 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( S 
gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( y `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
215206, 214oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( E `  x ) ( +g  `  S ) ( E `
 y ) )  =  ( ( S 
gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( x `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) ( +g  `  S ) ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( y `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) ) )
216187, 198, 2153eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( +g  `  P
) y ) )  =  ( ( E `
 x ) ( +g  `  S ) ( E `  y
) ) )
2171, 28, 97, 98, 100, 102, 121, 216isghmd 15007 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P 
GrpHom  S ) )
218 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
219218, 29rhmmhm 15817 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  T ) )
22035, 219syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  T ) )
221220adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  ->  F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  T ) )
222 simprll 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  ->  x  e.  B )
22310, 16, 1, 20, 222mplelf 16489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  ->  x : D --> K )
224 simprrl 741 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
z  e.  D )
225223, 224ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( x `  z
)  e.  K )
226 simprlr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
y  e.  B )
22710, 16, 1, 20, 226mplelf 16489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
y : D --> K )
228 simprrr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  ->  w  e.  D )
229227, 228ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( y `  w
)  e.  K )
230218, 16mgpbas 15646 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
231 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
232218, 231mgpplusg 15644 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
23329, 5mgpplusg 15644 . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( +g  `  T )
234230, 232, 233mhmlin 14737 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  T )  /\  ( x `  z )  e.  K  /\  ( y `  w
)  e.  K )  ->  ( F `  ( ( x `  z ) ( .r
`  R ) ( y `  w ) ) )  =  ( ( F `  (
x `  z )
)  .x.  ( F `  ( y `  w
) ) ) )
235221, 225, 229, 234syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( F `  (
( x `  z
) ( .r `  R ) ( y `
 w ) ) )  =  ( ( F `  ( x `
 z ) ) 
.x.  ( F `  ( y `  w
) ) ) )
23662ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  D  /\  w  e.  D )
)  /\  v  e.  I )  ->  T  e.  Mnd )
2376adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  ->  I  e.  _V )
238 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
z  e.  D )
23920psrbagf 16424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  _V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
240237, 238, 239syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
z : I --> NN0 )
241240ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  D  /\  w  e.  D )
)  /\  v  e.  I )  ->  (
z `  v )  e.  NN0 )
242 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  ->  w  e.  D )
24320psrbagf 16424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  _V  /\  w  e.  D )  ->  w : I --> NN0 )
244237, 242, 243syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  ->  w : I --> NN0 )
245244ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  D  /\  w  e.  D )
)  /\  v  e.  I )  ->  (
w `  v )  e.  NN0 )
24637adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  ->  G : I --> C )
247246ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  D  /\  w  e.  D )
)  /\  v  e.  I )  ->  ( G `  v )  e.  C )
24852, 30, 233mulgnn0dir 14905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  ( ( z `  v )  e.  NN0  /\  ( w `  v
)  e.  NN0  /\  ( G `  v )  e.  C ) )  ->  ( ( ( z `  v )  +  ( w `  v ) )  .^  ( G `  v ) )  =  ( ( ( z `  v
)  .^  ( G `  v ) )  .x.  ( ( w `  v )  .^  ( G `  v )
) ) )
249236, 241, 245, 247, 248syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  D  /\  w  e.  D )
)  /\  v  e.  I )  ->  (
( ( z `  v )  +  ( w `  v ) )  .^  ( G `  v ) )  =  ( ( ( z `
 v )  .^  ( G `  v ) )  .x.  ( ( w `  v ) 
.^  ( G `  v ) ) ) )
250249mpteq2dva 4287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( v  e.  I  |->  ( ( ( z `
 v )  +  ( w `  v
) )  .^  ( G `  v )
) )  =  ( v  e.  I  |->  ( ( ( z `  v )  .^  ( G `  v )
)  .x.  ( (
w `  v )  .^  ( G `  v
) ) ) ) )
251 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z `  v )  +  ( w `  v ) )  e. 
_V
252251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  D  /\  w  e.  D )
)  /\  v  e.  I )  ->  (
( z `  v
)  +  ( w `
 v ) )  e.  _V )
253 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G `
 v )  e. 
_V
254253a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  D  /\  w  e.  D )
)  /\  v  e.  I )  ->  ( G `  v )  e.  _V )
255 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z : I --> NN0  ->  z  Fn  I )
256240, 255syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
z  Fn  I )
257 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w : I --> NN0  ->  w  Fn  I )
258244, 257syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  ->  w  Fn  I )
259 inidm 3542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  i^i  I )  =  I
260 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  D  /\  w  e.  D )
)  /\  v  e.  I )  ->  (
z `  v )  =  ( z `  v ) )
261 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  D  /\  w  e.  D )
)  /\  v  e.  I )  ->  (
w `  v )  =  ( w `  v ) )
262256, 258, 237, 237, 259, 260, 261offval 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( z  o F  +  w )  =  ( v  e.  I  |->  ( ( z `  v )  +  ( w `  v ) ) ) )
26337feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  =  ( v  e.  I  |->  ( G `
 v ) ) )
264263adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  ->  G  =  ( v  e.  I  |->  ( G `
 v ) ) )
265237, 252, 254, 262, 264offval2 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( ( z  o F  +  w )  o F  .^  G
)  =  ( v  e.  I  |->  ( ( ( z `  v
)  +  ( w `
 v ) ) 
.^  ( G `  v ) ) ) )
266 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z `  v ) 
.^  ( G `  v ) )  e. 
_V
267266a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  D  /\  w  e.  D )
)  /\  v  e.  I )  ->  (
( z `  v
)  .^  ( G `  v ) )  e. 
_V )
268 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w `  v ) 
.^  ( G `  v ) )  e. 
_V
269268a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  D  /\  w  e.  D )
)  /\  v  e.  I )  ->  (
( w `  v
)  .^  ( G `  v ) )  e. 
_V )
270 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : I --> C  ->  G  Fn  I )
27137, 270syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  Fn  I )
272271adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  ->  G  Fn  I )
273 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  D  /\  w  e.  D )
)  /\  v  e.  I )  ->  ( G `  v )  =  ( G `  v ) )
274256, 272, 237, 237, 259, 260, 273offval 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( z  o F 
.^  G )  =  ( v  e.  I  |->  ( ( z `  v )  .^  ( G `  v )
) ) )
275258, 272, 237, 237, 259, 261, 273offval 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( w  o F 
.^  G )  =  ( v  e.  I  |->  ( ( w `  v )  .^  ( G `  v )
) ) )
276237, 267, 269, 274, 275offval2 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( ( z  o F  .^  G )  o F  .x.  ( w  o F  .^  G
) )  =  ( v  e.  I  |->  ( ( ( z `  v )  .^  ( G `  v )
)  .x.  ( (
w `  v )  .^  ( G `  v
) ) ) ) )
277250, 265, 2763eqtr4d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( ( z  o F  +  w )  o F  .^  G
)  =  ( ( z  o F  .^  G )  o F 
.x.  ( w  o F  .^  G )
) )
278277oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( T  gsumg  ( ( z  o F  +  w )  o F  .^  G
) )  =  ( T  gsumg  ( ( z  o F  .^  G )  o F  .x.  ( w  o F  .^  G
) ) ) )
27960adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  ->  T  e. CMnd )
28020, 52, 30, 53, 279, 238, 246, 237psrbagev1 16558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( ( z  o F  .^  G ) : I --> C  /\  ( `' ( z  o F  .^  G ) " ( _V  \  { ( 1r `  S ) } ) )  e.  Fin )
)
281280simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( z  o F 
.^  G ) : I --> C )
28220, 52, 30, 53, 279, 242, 246, 237psrbagev1 16558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( ( w  o F  .^  G ) : I --> C  /\  ( `' ( w  o F  .^  G ) " ( _V  \  { ( 1r `  S ) } ) )  e.  Fin )
)
283282simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( w  o F 
.^  G ) : I --> C )
284280simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( `' ( z  o F  .^  G
) " ( _V 
\  { ( 1r
`  S ) } ) )  e.  Fin )
285282simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( `' ( w  o F  .^  G
) " ( _V 
\  { ( 1r
`  S ) } ) )  e.  Fin )
28652, 53, 233, 279, 237, 281, 283, 284, 285gsumadd 15520 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( T  gsumg  ( ( z  o F  .^  G )  o F  .x.  ( w  o F  .^  G
) ) )  =  ( ( T  gsumg  ( z  o F  .^  G
) )  .x.  ( T  gsumg  ( w  o F 
.^  G ) ) ) )
287278, 286eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( T  gsumg  ( ( z  o F  +  w )  o F  .^  G
) )  =  ( ( T  gsumg  ( z  o F 
.^  G ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( w  o F  .^  G
) ) ) )
288287adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( T  gsumg  ( ( z  o F  +  w )  o F  .^  G
) )  =  ( ( T  gsumg  ( z  o F 
.^  G ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( w  o F  .^  G
) ) ) )
289235, 288oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( ( F `  ( ( x `  z ) ( .r
`  R ) ( y `  w ) ) )  .x.  ( T  gsumg  ( ( z  o F  +  w )  o F  .^  G
) ) )  =  ( ( ( F `
 ( x `  z ) )  .x.  ( F `  ( y `
 w ) ) )  .x.  ( ( T  gsumg  ( z  o F 
.^  G ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( w  o F  .^  G
) ) ) ) )
29060adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  ->  T  e. CMnd )
29170adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  ->  F : K --> C )
292291, 225ffvelrnd 5863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( F `  (
x `  z )
)  e.  C )
293291, 229ffvelrnd 5863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( F `  (
y `  w )
)  e.  C )
29420, 52, 30, 53, 279, 238, 246, 237psrbagev2 16559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( T  gsumg  ( z  o F 
.^  G ) )  e.  C )
295294adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( T  gsumg  ( z  o F 
.^  G ) )  e.  C )
29620, 52, 30, 53, 279, 242, 246, 237psrbagev2 16559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D ) )  -> 
( T  gsumg  ( w  o F 
.^  G ) )  e.  C )
297296adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( T  gsumg  ( w  o F 
.^  G ) )  e.  C )
29852, 233cmn4 15423 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. CMnd  /\  (
( F `  (
x `  z )
)  e.  C  /\  ( F `  ( y `
 w ) )  e.  C )  /\  ( ( T  gsumg  ( z  o F  .^  G
) )  e.  C  /\  ( T  gsumg  ( w  o F 
.^  G ) )  e.  C ) )  ->  ( ( ( F `  ( x `
 z ) ) 
.x.  ( F `  ( y `  w
) ) )  .x.  ( ( T  gsumg  ( z  o F  .^  G
) )  .x.  ( T  gsumg  ( w  o F 
.^  G ) ) ) )  =  ( ( ( F `  ( x `  z
) )  .x.  ( T  gsumg  ( z  o F 
.^  G ) ) )  .x.  ( ( F `  ( y `
 w ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( w  o F  .^  G
) ) ) ) )
299290, 292, 293, 295, 297, 298syl122anc 1193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( ( ( F `
 ( x `  z ) )  .x.  ( F `  ( y `
 w ) ) )  .x.  ( ( T  gsumg  ( z  o F 
.^  G ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( w  o F  .^  G
) ) ) )  =  ( ( ( F `  ( x `
 z ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( z  o F  .^  G
) ) )  .x.  ( ( F `  ( y `  w
) )  .x.  ( T  gsumg  ( w  o F 
.^  G ) ) ) ) )
300289, 299eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( ( F `  ( ( x `  z ) ( .r
`  R ) ( y `  w ) ) )  .x.  ( T  gsumg  ( ( z  o F  +  w )  o F  .^  G
) ) )  =  ( ( ( F `
 ( x `  z ) )  .x.  ( T  gsumg  ( z  o F 
.^  G ) ) )  .x.  ( ( F `  ( y `
 w ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( w  o F  .^  G
) ) ) ) )
3016adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  ->  I  e.  _V )
3027adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  ->  R  e.  CRing )
30313adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  ->  S  e.  CRing )
30435adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
30537adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  ->  G : I --> C )
30620psrbagaddcl 16427 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  z  e.  D  /\  w  e.  D )  ->  ( z  o F  +  w )  e.  D )
307301, 224, 228, 306syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( z  o F  +  w )  e.  D )
3089adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  ->  R  e.  Ring )
30916, 231rngcl 15669 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x `  z )  e.  K  /\  (
y `  w )  e.  K )  ->  (
( x `  z
) ( .r `  R ) ( y `
 w ) )  e.  K )
310308, 225, 229, 309syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( ( x `  z ) ( .r
`  R ) ( y `  w ) )  e.  K )
31110, 1, 28, 16, 20, 29, 30, 5, 31, 32, 301, 302, 303, 304, 305, 21, 307, 310evlslem3 19927 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
v  e.  D  |->  if ( v  =  ( z  o F  +  w ) ,  ( ( x `  z
) ( .r `  R ) ( y `
 w ) ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( ( F `  ( ( x `  z ) ( .r `  R
) ( y `  w ) ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( ( z  o F  +  w )  o F 
.^  G ) ) ) )
31210, 1, 28, 16, 20, 29, 30, 5, 31, 32, 301, 302, 303, 304, 305, 21, 224, 225evlslem3 19927 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
v  e.  D  |->  if ( v  =  z ,  ( x `  z ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( ( F `  ( x `  z
) )  .x.  ( T  gsumg  ( z  o F 
.^  G ) ) ) )
31310, 1, 28, 16, 20, 29, 30, 5, 31, 32, 301, 302, 303, 304, 305, 21, 228, 229evlslem3 19927 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
v  e.  D  |->  if ( v  =  w ,  ( y `  w ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( ( F `  ( y `  w
) )  .x.  ( T  gsumg  ( w  o F 
.^  G ) ) ) )
314312, 313oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( ( E `  ( v  e.  D  |->  if ( v  =  z ,  ( x `
 z ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) 
.x.  ( E `  ( v  e.  D  |->  if ( v  =  w ,  ( y `
 w ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  (
x `  z )
)  .x.  ( T  gsumg  ( z  o F  .^  G ) ) ) 
.x.  ( ( F `
 ( y `  w ) )  .x.  ( T  gsumg  ( w  o F 
.^  G ) ) ) ) )
315300, 311, 3143eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  D  /\  w  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
v  e.  D  |->  if ( v  =  ( z  o F  +  w ) ,  ( ( x `  z
) ( .r `  R ) ( y `
 w ) ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( ( E `  ( v  e.  D  |->  if ( v  =  z ,  ( x `  z
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )  .x.  ( E `  ( v  e.  D  |->  if ( v  =  w ,  ( y `  w
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) ) )
31610, 1, 5, 21, 20, 6, 7, 13, 217, 315evlslem2 16560 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( ( E `  x ) 
.x.  ( E `  y ) ) )
3171, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 96, 316, 28, 97, 98, 121, 216isrhmd 15822 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P RingHom  S ) )
318 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( S 
gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  e. 
_V
319318, 32fnmpti 5565 . . . . 5  |-  E  Fn  B
320319a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  Fn  B )
32116, 1rhmf 15819 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( R RingHom  P
)  ->  A : K
--> B )
32290, 321syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : K --> B )
323 ffn 5583 . . . . 5  |-  ( A : K --> B  ->  A  Fn  K )
324322, 323syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  Fn  K )
325 frn 5589 . . . . 5  |-  ( A : K --> B  ->  ran  A  C_  B )
326322, 325syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  A  C_  B
)
327 fnco 5545 . . . 4  |-  ( ( E  Fn  B  /\  A  Fn  K  /\  ran  A  C_  B )  ->  ( E  o.  A
)  Fn  K )
328320, 324, 326, 327syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  o.  A
)  Fn  K )
329 ffn 5583 . . . 4  |-  ( F : K --> C  ->  F  Fn  K )
33070, 329syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  K )
331 fvco2 5790 . . . . 5  |-  ( ( A  Fn  K  /\  x  e.  K )  ->  ( ( E  o.  A ) `  x
)  =  ( E `
 ( A `  x ) ) )
332324, 331sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (
( E  o.  A
) `  x )  =  ( E `  ( A `  x ) ) )
333332, 75eqtrd 2467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (
( E  o.  A
) `  x )  =  ( F `  x ) )
334328, 330, 333eqfnfvd 5822 . 2  |-  ( ph  ->  ( E  o.  A
)  =  F )
33510, 31, 1, 6, 9mvrf2 16544 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
336 ffn 5583 . . . . 5  |-  ( V : I --> B  ->  V  Fn  I )
337335, 336syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
338 frn 5589 . . . . 5  |-  ( V : I --> B  ->  ran  V  C_  B )
339335, 338syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  B
)
340 fnco 5545 . . . 4  |-  ( ( E  Fn  B  /\  V  Fn  I  /\  ran  V  C_  B )  ->  ( E  o.  V
)  Fn  I )
341320, 337, 339, 340syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  o.  V
)  Fn  I )
342 fvco2 5790 . . . . 5  |-  ( ( V  Fn  I  /\  x  e.  I )  ->  ( ( E  o.  V ) `  x
)  =  ( E `
 ( V `  x ) ) )
343337, 342sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  o.  V
) `  x )  =  ( E `  ( V `  x ) ) )
3446adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  _V )
3457adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  CRing )
346 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
34731, 20, 21, 17, 344, 345, 346mvrval 16477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
348347fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( E `  ( V `  x ) )  =  ( E `  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
34913adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  CRing )
35035adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  ( R RingHom  S )
)
35137adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G : I --> C )
35220psrbagsn 16547 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  _V  ->  (
z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
3536, 352syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  e.  D )
354353adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
35519adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( 1r `  R )  e.  K )
35610, 1, 28, 16, 20, 29, 30, 5, 31, 32, 344, 345, 349, 350, 351, 21, 354, 355evlslem3 19927 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( E `  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )  =  ( ( F `
 ( 1r `  R ) )  .x.  ( T  gsumg  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  o F  .^  G
) ) ) )
35795adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  S
) )
358 1nn0 10229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
359 0nn0 10228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
360358, 359keepel 3788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  e.  NN0
361360a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  I )  ->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  e.  NN0 )
36237ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  I )  ->  ( G `  z )  e.  C )
363 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) )
36437feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  I  |->  ( G `
 z ) ) )
3656, 361, 362, 363, 364offval2 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  o F  .^  G
)  =  ( z  e.  I  |->  ( if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  .^  ( G `  z ) ) ) )
366 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  .^  ( G `  z )
)  =  ( if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  .^  ( G `  z ) ) )
367366eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  =  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  -> 
( ( 1  .^  ( G `  z ) )  =  if ( z  =  x ,  ( G `  z
) ,  ( 1r
`  S ) )  <-> 
( if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  .^  ( G `  z ) )  =  if ( z  =  x ,  ( G `  z
) ,  ( 1r
`  S ) ) ) )
368 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  .^  ( G `  z )
)  =  ( if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  .^  ( G `  z ) ) )
369368eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  -> 
( ( 0  .^  ( G `  z ) )  =  if ( z  =  x ,  ( G `  z
) ,  ( 1r
`  S ) )  <-> 
( if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  .^  ( G `  z ) )  =  if ( z  =  x ,  ( G `  z
) ,  ( 1r
`  S ) ) ) )
370362adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  I )  /\  z  =  x )  ->  ( G `  z )  e.  C )
37152, 30mulg1 14889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  z )  e.  C  ->  (
1  .^  ( G `  z ) )  =  ( G `  z
) )
372370, 371syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  I )  /\  z  =  x )  ->  (
1  .^  ( G `  z ) )  =  ( G `  z
) )
373 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  =  x ,  ( G `  z ) ,  ( 1r `  S ) )  =  ( G `
 z ) )
374373adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  I )  /\  z  =  x )  ->  if ( z  =  x ,  ( G `  z ) ,  ( 1r `  S ) )  =  ( G `
 z ) )
375372, 374eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  I )  /\  z  =  x )  ->  (
1  .^  ( G `  z ) )  =  if ( z  =  x ,  ( G `
 z ) ,  ( 1r `  S
) ) )
37652, 53, 30mulg0 14887 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  z )  e.  C  ->  (
0  .^  ( G `  z ) )  =  ( 1r `  S
) )
377362, 376syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  I )  ->  (
0  .^  ( G `  z ) )  =  ( 1r `  S
) )
378377adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  I )  /\  -.  z  =  x )  ->  ( 0  .^  ( G `  z )
)  =  ( 1r
`  S ) )
379 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  z  =  x  ->  if ( z  =  x ,  ( G `  z ) ,  ( 1r `  S ) )  =  ( 1r
`  S ) )
380379adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  I )  /\  -.  z  =  x )  ->  if ( z  =  x ,  ( G `
 z ) ,  ( 1r `  S
) )  =  ( 1r `  S ) )
381378, 380eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  I )  /\  -.  z  =  x )  ->  ( 0  .^  ( G `  z )
)  =  if ( z  =  x ,  ( G `  z
) ,  ( 1r
`  S ) ) )
382367, 369, 375, 381ifbothda 3761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  I )  ->  ( if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  .^  ( G `  z ) )  =  if ( z  =  x ,  ( G `
 z ) ,  ( 1r `  S
) ) )
383382mpteq2dva 4287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( z  e.  I  |->  ( if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  .^  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  ( G `  z ) ,  ( 1r `  S ) ) ) )
384365, 383eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  o F  .^  G
)  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  ( G `  z
) ,  ( 1r
`  S ) ) ) )
385384adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  o F  .^  G )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  ( G `  z ) ,  ( 1r `  S ) ) ) )
386385oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( T  gsumg  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  o F  .^  G
) )  =  ( T  gsumg  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  ( G `
 z ) ,  ( 1r `  S
) ) ) ) )
38762adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  T  e.  Mnd )
388362adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  I )  ->  ( G `  z )  e.  C )
38928, 3rngidcl 15676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  C )
39015, 389syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  C )
391390ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  I )  ->  ( 1r `  S )  e.  C )
392 ifcl 3767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  C  /\  ( 1r `  S )  e.  C )  ->  if ( z  =  x ,  ( G `  z ) ,  ( 1r `  S ) )  e.  C )
393388, 391, 392syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  I )  ->  if ( z  =  x ,  ( G `  z ) ,  ( 1r `  S ) )  e.  C )
394 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  ( G `  z
) ,  ( 1r
`  S ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  ( G `  z
) ,  ( 1r
`  S ) ) )
395393, 394fmptd 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  ( G `  z ) ,  ( 1r `  S ) ) ) : I --> C )
396 eldifn 3462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( I  \  { x } )  ->  -.  z  e.  { x } )
397 elsn 3821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { x }  <->  z  =  x )
398396, 397sylnib 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( I  \  { x } )  ->  -.  z  =  x )
399398, 379syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( I  \  { x } )  ->  if ( z  =  x ,  ( G `  z ) ,  ( 1r `  S ) )  =  ( 1r `  S
) )
400399adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  ( I  \  {
x } ) )  ->  if ( z  =  x ,  ( G `  z ) ,  ( 1r `  S ) )  =  ( 1r `  S
) )
401400suppss2 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( `' ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  ( G `  z ) ,  ( 1r `  S ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  S ) } ) )  C_  { x } )
40252, 53, 387, 344, 346, 395, 401gsumpt 15537 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( T  gsumg  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  ( G `
 z ) ,  ( 1r `  S
) ) ) )  =  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  ( G `  z
) ,  ( 1r
`  S ) ) ) `  x ) )
403 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( G `  z )  =  ( G `  x ) )
404373, 403eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  =  x ,  ( G `  z ) ,  ( 1r `  S ) )  =  ( G `
 x ) )
405404, 394, 45fvmpt 5798 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  ->  (
( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  ( G `
 z ) ,  ( 1r `  S
) ) ) `  x )  =  ( G `  x ) )
406405adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  ( G `
 z ) ,  ( 1r `  S
) ) ) `  x )  =  ( G `  x ) )
407386, 402, 4063eqtrd 2471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( T  gsumg  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  o F  .^  G
) )  =  ( G `  x ) )
408357, 407oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  ( 1r `  R ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  o F 
.^  G ) ) )  =  ( ( 1r `  S ) 
.x.  ( G `  x ) ) )
40915adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  Ring )
41028, 5, 3rnglidm 15679 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( G `  x )  e.  C )  ->  (
( 1r `  S
)  .x.  ( G `  x ) )  =  ( G `  x
) )
411409, 51, 410syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( 1r `  S
)  .x.  ( G `  x ) )  =  ( G `  x
) )
412408, 411eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  ( 1r `  R ) ) 
.x.  ( T  gsumg  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  o F 
.^  G ) ) )  =  ( G `
 x ) )
413348, 356, 4123eqtrd 2471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( E `  ( V `  x ) )  =  ( G `  x
) )
414343, 413eqtrd 2467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  o.  V
) `  x )  =  ( G `  x ) )
415341, 271, 414eqfnfvd 5822 . 2  |-  ( ph  ->  ( E  o.  V
)  =  G )
416317, 334, 4153jca 1134 1  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( P RingHom  S )  /\  ( E  o.  A )  =  F  /\  ( E  o.  V )  =  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   ifcif 3731   {csn 3806    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   ran crn 4871   "cima 4873    o. ccom 4874    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716   Mndcmnd 14676   Grpcgrp 14677  .gcmg 14681   MndHom cmhm 14728    GrpHom cghm 14995  CMndccmn 15404  mulGrpcmgp 15640   Ringcrg 15652   CRingccrg 15653   1rcur 15654   RingHom crh 15809  AssAlgcasa 16361  algSccascl 16363   mVar cmvr 16399   mPoly cmpl 16400
This theorem is referenced by:  evlseu  19929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-rnghom 15811  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-assa 16364  df-ascl 16366  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411
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