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Theorem evlslem2 16569
Description: A linear function on the polynomial ring which is multiplicative on scaled monomials is generally multiplicative. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
evlslem2.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
evlslem2.m  |-  .x.  =  ( .r `  S )
evlslem2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem2.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
evlslem2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
evlslem2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evlslem2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlslem2.e1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P 
GrpHom  S ) )
evlslem2.e2  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
evlslem2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( ( E `  x ) 
.x.  ( E `  y ) ) )
Distinct variable groups:    ph, i, j, k, y    B, i, j, k, x, y    D, i, j, k, x, y    i, E, j   
h, I, i, j, k    .x. , i, j    P, i, j, k, x, y    R, h, i, j, k    S, i, j    .0. , h, i, j, k, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, h)    B( h)    D( h)    P( h)    R( x, y)    S( x, y, h, k)    .x. ( x, y, h, k)    E( x, y, h, k)    I( x, y)

Proof of Theorem evlslem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
2 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
3 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4 evlslem2.d . . . . . . 7  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
5 ovex 6107 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
65rabex 4355 . . . . . . 7  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
74, 6eqeltri 2507 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  D  e.  _V )
9 evlslem2.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
10 evlslem2.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
11 crngrng 15675 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1210, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
13 evlslem2.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( I mPoly  R )
1413mplrng 16516 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
159, 12, 14syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
1615adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  P  e.  Ring )
17 evlslem2.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
199ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  I  e.  _V )
2012ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
21 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
2213, 18, 1, 4, 21mplelf 16498 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x : D --> ( Base `  R ) )
2322ffvelrnda 5871 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  (
x `  j )  e.  ( Base `  R
) )
24 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  j  e.  D )
2513, 4, 17, 18, 19, 20, 1, 23, 24mplmon2cl 16561 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  B
)
269ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  I  e.  _V )
2712ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
28 simprr 735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
2913, 18, 1, 4, 28mplelf 16498 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y : D --> ( Base `  R ) )
3029ffvelrnda 5871 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  (
y `  i )  e.  ( Base `  R
) )
31 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  D )
3213, 4, 17, 18, 26, 27, 1, 30, 31mplmon2cl 16561 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  e.  B
)
33 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
3410adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
3513, 1, 17, 33, 34mplelsfi 16552 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
3613, 18, 1, 4, 33mplelf 16498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y : D --> ( Base `  R
) )
37 ssid 3368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
3936, 38suppssr 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( y `  j )  =  .0.  )
4039ifeq1d 3754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  )  =  if ( k  =  j ,  .0.  ,  .0.  ) )
41 ifid 3772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( k  =  j ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
4240, 41syl6eq 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  )  =  .0.  )
4342mpteq2dv 4297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  .0.  ) )
44 rnggrp 15670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
4512, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
4613, 4, 17, 3, 9, 45mpl0 16505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
47 fconstmpt 4922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  X.  {  .0.  }
)  =  ( k  e.  D  |->  .0.  )
4846, 47syl6eq 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( k  e.  D  |->  .0.  )
)
4948ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( 0g `  P )  =  ( k  e.  D  |->  .0.  ) )
5043, 49eqtr4d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) )  =  ( 0g `  P ) )
5150suppss2 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
52 ssfi 7330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
5335, 51, 52syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
5453ralrimiva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
55 fveq1 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
y `  j )  =  ( x `  j ) )
5655ifeq1d 3754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  )  =  if (
k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
)
5756mpteq2dv 4297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )
5857mpteq2dv 4297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) )
5958cnveqd 5049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )  =  `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) )
6059imaeq1d 5203 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  =  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
6160eleq1d 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin ) )
6261cbvralv 2933 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  <->  A. x  e.  B  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
6354, 62sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
6463r19.21bi 2805 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
6564adantrr 699 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
66 equequ2 1699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
k  =  i  <->  k  =  j ) )
67 fveq2 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
y `  i )  =  ( y `  j ) )
68 eqidd 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  .0.  =  .0.  )
6966, 67, 68ifbieq12d 3762 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  )  =  if (
k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
)
7069mpteq2dv 4297 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
7170cbvmptv 4301 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
7271cnveqi 5048 . . . . . . 7  |-  `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  =  `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
7372imaeq1i 5201 . . . . . 6  |-  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  =  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )
7453adantrl 698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
7573, 74syl5eqel 2521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
761, 2, 3, 8, 8, 16, 25, 32, 65, 75gsumdixp 15716 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ( .r `  P ) ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
7776fveq2d 5733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( E `  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
78 rngcmn 15695 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
7915, 78syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
8079adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  P  e. CMnd )
81 evlslem2.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
82 crngrng 15675 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
8381, 82syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
8483adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e.  Ring )
85 rngmnd 15674 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Mnd )
8684, 85syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e.  Mnd )
877, 7xpex 4991 . . . . 5  |-  ( D  X.  D )  e. 
_V
8887a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( D  X.  D
)  e.  _V )
89 evlslem2.e1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P 
GrpHom  S ) )
90 ghmmhm 15017 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9189, 90syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9291adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9315ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  P  e.  Ring )
9425adantrr 699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) )  e.  B )
9532adantrl 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) )  e.  B )
961, 2rngcl 15678 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  B  /\  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) )  e.  B )  ->  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
9897ralrimivva 2799 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A. j  e.  D  A. i  e.  D  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
99 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )
10099fmpt2 6419 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  D  A. i  e.  D  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B  <->  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) : ( D  X.  D
) --> B )
10198, 100sylib 190 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) : ( D  X.  D ) --> B )
102 xpfi 7379 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )  ->  ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) ) )  e.  Fin )
10365, 75, 102syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) ) )  e.  Fin )
1041, 3, 2, 16, 25, 32evlslem4 16565 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) ) )
105 ssfi 7330 . . . . 5  |-  ( ( ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) ) 
C_  ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) ) ) )  -> 
( `' ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
106103, 104, 105syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
1071, 3, 80, 86, 88, 92, 101, 106gsummhm 15535 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( E `  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
1089ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  I  e.  _V )
10910ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  R  e.  CRing )
110 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
111 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
j  e.  D )
112 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
i  e.  D )
11323adantrr 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( x `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
11430adantrl 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( y `  i
)  e.  ( Base `  R ) )
11513, 4, 17, 18, 108, 109, 2, 110, 111, 112, 113, 114mplmon2mul 16562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `  j ) ( .r `  R
) ( y `  i ) ) ,  .0.  ) ) )
116115fveq2d 5733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `
 j ) ( .r `  R ) ( y `  i
) ) ,  .0.  ) ) ) )
117 evlslem2.e2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
118117anassrs 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
119116, 118eqtrd 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
1201193impb 1150 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D  /\  i  e.  D
)  ->  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
121120mpt2eq3dva 6139 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
122121oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
123 eqidd 2438 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
124 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1251, 124ghmf 15011 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  E : B
--> ( Base `  S
) )
12689, 125syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E : B --> ( Base `  S ) )
127126feqmptd 5780 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( z  e.  B  |->  ( E `
 z ) ) )
128127adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  E  =  ( z  e.  B  |->  ( E `
 z ) ) )
129 fveq2 5729 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
13097, 123, 128, 129fmpt2co 6431 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
131130oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
132 eqidd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )
133 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) )
13425, 132, 128, 133fmptco 5902 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) )
135134oveq2d 6098 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
136 eqidd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
137 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )
13832, 136, 128, 137fmptco 5902 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
139138oveq2d 6098 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
140135, 139oveq12d 6100 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
141 evlslem2.m . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  S )
142 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
143126ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  E : B --> ( Base `  S
) )
144143, 25ffvelrnd 5872 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  e.  (
Base `  S )
)
145126ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  E : B --> ( Base `  S
) )
146145, 32ffvelrnd 5872 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  e.  (
Base `  S )
)
147 ssid 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )
148147a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
1493, 142ghmid 15013 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  ( E `  ( 0g `  P
) )  =  ( 0g `  S ) )
15089, 149syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E `  ( 0g `  P ) )  =  ( 0g `  S ) )
1517mptex 5967 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
)  e.  _V
152151a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
153148, 150, 152suppssfv 6302 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
154153adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
155 ssfi 7330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin )
15665, 154, 155syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin )
157 ssid 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )
158157a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
1597mptex 5967 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
)  e.  _V
160159a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
161158, 150, 160suppssfv 6302 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
162161adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
163 ssfi 7330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )  -> 
( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin )
16475, 162, 163syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin )
165124, 141, 142, 8, 8, 84, 144, 146, 156, 164gsumdixp 15716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
166140, 165eqtrd 2469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
167122, 131, 1663eqtr4d 2479 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
16877, 107, 1673eqtr2d 2475 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
1699adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  I  e.  _V )
17012adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
17113, 4, 17, 1, 169, 170, 21mplcoe4 16564 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  =  ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )
17213, 4, 17, 1, 169, 170, 28mplcoe4 16564 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  =  ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
173171, 172oveq12d 6100 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  P ) y )  =  ( ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
174173fveq2d 5733 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( E `
 ( ( P 
gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
175171fveq2d 5733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  x
)  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
176 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )
17725, 176fmptd 5894 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) : D --> B )
1781, 3, 80, 86, 8, 92, 177, 65gsummhm 15535 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
179175, 178eqtr4d 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  x
)  =  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
180172fveq2d 5733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
181 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  =  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )
18232, 181fmptd 5894 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) : D --> B )
1831, 3, 80, 86, 8, 92, 182, 75gsummhm 15535 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
184180, 183eqtr4d 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
185179, 184oveq12d 6100 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( E `  x )  .x.  ( E `  y )
)  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
186168, 174, 1853eqtr4d 2479 1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( ( E `  x ) 
.x.  ( E `  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   {crab 2710   _Vcvv 2957    \ cdif 3318    C_ wss 3321   ifcif 3740   {csn 3815    e. cmpt 4267    X. cxp 4877   `'ccnv 4878   "cima 4882    o. ccom 4883   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084    o Fcof 6304    ^m cmap 7019   Fincfn 7110    + caddc 8994   NNcn 10001   NN0cn0 10222   Basecbs 13470   .rcmulr 13531   0gc0g 13724    gsumg cgsu 13725   Mndcmnd 14685   Grpcgrp 14686   MndHom cmhm 14737    GrpHom cghm 15004  CMndccmn 15413   Ringcrg 15661   CRingccrg 15662   mPoly cmpl 16409
This theorem is referenced by:  evlslem1  19937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-hash 11620  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mulg 14816  df-subg 14942  df-ghm 15005  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-cring 15665  df-ur 15666  df-subrg 15867  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-assa 16373  df-psr 16418  df-mpl 16420
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