MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem2 Unicode version

Theorem evlslem2 16249
Description: A linear function on the polynomial ring which is multiplicative on scaled monomials is generally multiplicative. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
evlslem2.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
evlslem2.m  |-  .x.  =  ( .r `  S )
evlslem2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem2.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
evlslem2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
evlslem2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evlslem2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlslem2.e1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P 
GrpHom  S ) )
evlslem2.e2  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
evlslem2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( ( E `  x ) 
.x.  ( E `  y ) ) )
Distinct variable groups:    ph, i, j, k, y    B, i, j, k, x, y    D, i, j, k, x, y    i, E, j   
h, I, i, j, k    .x. , i, j    P, i, j, k, x, y    R, h, i, j, k    S, i, j    .0. , h, i, j, k, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, h)    B( h)    D( h)    P( h)    R( x, y)    S( x, y, h, k)    .x. ( x, y, h, k)    E( x, y, h, k)    I( x, y)

Proof of Theorem evlslem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4 evlslem2.d . . . . . . 7  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
5 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
65rabex 4165 . . . . . . 7  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
74, 6eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
87a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  D  e.  _V )
9 evlslem2.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
10 evlslem2.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
11 crngrng 15351 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1210, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
13 evlslem2.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( I mPoly  R )
1413mplrng 16196 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
159, 12, 14syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
1615adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  P  e.  Ring )
17 evlslem2.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
199ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  I  e.  _V )
2012ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
21 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
2213, 18, 1, 4, 21mplelf 16178 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x : D --> ( Base `  R ) )
23 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( x : D --> ( Base `  R )  /\  j  e.  D )  ->  (
x `  j )  e.  ( Base `  R
) )
2422, 23sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  (
x `  j )  e.  ( Base `  R
) )
25 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  j  e.  D )
2613, 4, 17, 18, 19, 20, 1, 24, 25mplmon2cl 16241 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  B
)
279ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  I  e.  _V )
2812ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
29 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
3013, 18, 1, 4, 29mplelf 16178 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y : D --> ( Base `  R ) )
31 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( y : D --> ( Base `  R )  /\  i  e.  D )  ->  (
y `  i )  e.  ( Base `  R
) )
3230, 31sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  (
y `  i )  e.  ( Base `  R
) )
33 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  D )
3413, 4, 17, 18, 27, 28, 1, 32, 33mplmon2cl 16241 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  e.  B
)
35 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
3610adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
3713, 1, 17, 35, 36mplelsfi 16232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
3813, 18, 1, 4, 35mplelf 16178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y : D --> ( Base `  R
) )
39 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )
4039a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
4138, 40suppssr 5659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( y `  j )  =  .0.  )
4241ifeq1d 3579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  )  =  if ( k  =  j ,  .0.  ,  .0.  ) )
43 ifid 3597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( k  =  j ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
4442, 43syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  )  =  .0.  )
4544mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  .0.  ) )
46 rnggrp 15346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
4712, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
4813, 4, 17, 3, 9, 47mpl0 16185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
49 fconstmpt 4732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  X.  {  .0.  }
)  =  ( k  e.  D  |->  .0.  )
5048, 49syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( k  e.  D  |->  .0.  )
)
5150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( 0g `  P )  =  ( k  e.  D  |->  .0.  ) )
5245, 51eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) )  =  ( 0g `  P ) )
5352suppss2 6073 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
54 ssfi 7083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
5537, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
5655ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
57 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
y `  j )  =  ( x `  j ) )
5857ifeq1d 3579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  )  =  if (
k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
)
5958mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )
6059mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) )
6160cnveqd 4857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )  =  `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) )
6261imaeq1d 5011 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  =  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
6362eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin ) )
6463cbvralv 2764 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  <->  A. x  e.  B  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
6556, 64sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
6665r19.21bi 2641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
6766adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
68 equequ2 1649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
k  =  i  <->  k  =  j ) )
69 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
y `  i )  =  ( y `  j ) )
70 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  .0.  =  .0.  )
7168, 69, 70ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  )  =  if (
k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
)
7271mpteq2dv 4107 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
7372cbvmptv 4111 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
7473cnveqi 4856 . . . . . . 7  |-  `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  =  `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
7574imaeq1i 5009 . . . . . 6  |-  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  =  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )
7655adantrl 696 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
7775, 76syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
781, 2, 3, 8, 8, 16, 26, 34, 67, 77gsumdixp 15392 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ( .r `  P ) ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
7978fveq2d 5529 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( E `  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
80 rngcmn 15371 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
8115, 80syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
8281adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  P  e. CMnd )
83 evlslem2.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
84 crngrng 15351 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
8583, 84syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
8685adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e.  Ring )
87 rngmnd 15350 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Mnd )
8886, 87syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e.  Mnd )
897, 7xpex 4801 . . . . 5  |-  ( D  X.  D )  e. 
_V
9089a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( D  X.  D
)  e.  _V )
91 evlslem2.e1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P 
GrpHom  S ) )
92 ghmmhm 14693 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9391, 92syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9493adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9515ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  P  e.  Ring )
9626adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) )  e.  B )
9734adantrl 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) )  e.  B )
981, 2rngcl 15354 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  B  /\  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) )  e.  B )  ->  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
9995, 96, 97, 98syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
10099ralrimivva 2635 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A. j  e.  D  A. i  e.  D  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
101 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )
102101fmpt2 6191 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  D  A. i  e.  D  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B  <->  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) : ( D  X.  D
) --> B )
103100, 102sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) : ( D  X.  D ) --> B )
104 xpfi 7128 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )  ->  ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) ) )  e.  Fin )
10567, 77, 104syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) ) )  e.  Fin )
1061, 3, 2, 16, 26, 34evlslem4 16245 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) ) )
107 ssfi 7083 . . . . 5  |-  ( ( ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) ) 
C_  ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) ) ) )  -> 
( `' ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
108105, 106, 107syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
1091, 3, 82, 88, 90, 94, 103, 108gsummhm 15211 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( E `  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
1109ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  I  e.  _V )
11110ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  R  e.  CRing )
112 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
113 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
j  e.  D )
114 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
i  e.  D )
11524adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( x `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
11632adantrl 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( y `  i
)  e.  ( Base `  R ) )
11713, 4, 17, 18, 110, 111, 2, 112, 113, 114, 115, 116mplmon2mul 16242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `  j ) ( .r `  R
) ( y `  i ) ) ,  .0.  ) ) )
118117fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `
 j ) ( .r `  R ) ( y `  i
) ) ,  .0.  ) ) ) )
119 evlslem2.e2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
120119anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
121118, 120eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
1221213impb 1147 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D  /\  i  e.  D
)  ->  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
123122mpt2eq3dva 5912 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
124123oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
125 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
126 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1271, 126ghmf 14687 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  E : B
--> ( Base `  S
) )
12891, 127syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E : B --> ( Base `  S ) )
129128feqmptd 5575 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( z  e.  B  |->  ( E `
 z ) ) )
130129adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  E  =  ( z  e.  B  |->  ( E `
 z ) ) )
131 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
13299, 125, 130, 131fmpt2co 6202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
133132oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
134 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )
135 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) )
13626, 134, 130, 135fmptco 5691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) )
137136oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
138 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
139 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )
14034, 138, 130, 139fmptco 5691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
141140oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
142137, 141oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
143 evlslem2.m . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  S )
144 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
145128ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  E : B --> ( Base `  S
) )
146 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( E : B --> ( Base `  S )  /\  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  B
)  ->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )  e.  ( Base `  S
) )
147145, 26, 146syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  e.  (
Base `  S )
)
148128ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  E : B --> ( Base `  S
) )
149 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( E : B --> ( Base `  S )  /\  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  e.  B
)  ->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  e.  ( Base `  S
) )
150148, 34, 149syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  e.  (
Base `  S )
)
151 ssid 3197 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )
152151a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
1533, 144ghmid 14689 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  ( E `  ( 0g `  P
) )  =  ( 0g `  S ) )
15491, 153syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E `  ( 0g `  P ) )  =  ( 0g `  S ) )
1557mptex 5746 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
)  e.  _V
156155a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
157152, 154, 156suppssfv 6074 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
158157adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
159 ssfi 7083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin )
16067, 158, 159syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin )
161 ssid 3197 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )
162161a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
1637mptex 5746 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
)  e.  _V
164163a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
165162, 154, 164suppssfv 6074 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
166165adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
167 ssfi 7083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )  -> 
( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin )
16877, 166, 167syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin )
169126, 143, 144, 8, 8, 86, 147, 150, 160, 168gsumdixp 15392 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
170142, 169eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
171124, 133, 1703eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
17279, 109, 1713eqtr2d 2321 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
1739adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  I  e.  _V )
17412adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
17513, 4, 17, 1, 173, 174, 21mplcoe4 16244 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  =  ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )
17613, 4, 17, 1, 173, 174, 29mplcoe4 16244 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  =  ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
177175, 176oveq12d 5876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  P ) y )  =  ( ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
178177fveq2d 5529 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( E `
 ( ( P 
gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
179175fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  x
)  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
180 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )
18126, 180fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) : D --> B )
1821, 3, 82, 88, 8, 94, 181, 67gsummhm 15211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
183179, 182eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  x
)  =  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
184176fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
185 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  =  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )
18634, 185fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) : D --> B )
1871, 3, 82, 88, 8, 94, 186, 77gsummhm 15211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
188184, 187eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
189183, 188oveq12d 5876 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( E `  x )  .x.  ( E `  y )
)  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
190172, 178, 1893eqtr4d 2325 1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( ( E `  x ) 
.x.  ( E `  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   "cima 4692    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    o Fcof 6076    ^m cmap 6772   Fincfn 6863    + caddc 8740   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362   MndHom cmhm 14413    GrpHom cghm 14680  CMndccmn 15089   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   mPoly cmpl 16089
This theorem is referenced by:  evlslem1  19399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-assa 16053  df-psr 16098  df-mpl 16100
  Copyright terms: Public domain W3C validator