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Theorem evlslem3 19936
Description: Lemma for evlseu 19938. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
evlslem1.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
evlslem1.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
evlslem1.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
evlslem1.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
evlslem1.t  |-  T  =  (mulGrp `  S )
evlslem1.x  |-  .^  =  (.g
`  T )
evlslem1.m  |-  .x.  =  ( .r `  S )
evlslem1.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
evlslem1.e  |-  E  =  ( p  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
evlslem1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
evlslem1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evlslem1.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlslem1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
evlslem1.g  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
evlslem3.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem3.k  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
evlslem3.q  |-  ( ph  ->  H  e.  K )
Assertion
Ref Expression
evlslem3  |-  ( ph  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( ( F `  H )  .x.  ( T  gsumg  ( A  o F 
.^  G ) ) ) )
Distinct variable groups:    p, b, x,  .0.    B, p    C, b    D, b, p, x    F, b, p    .^ , b, p   
h, b, A, p, x    h, I    x, K    ph, b, x    G, b, p    H, b, p, x    S, b, p    T, b, p    .x. , b, p   
x, R
Allowed substitution hints:    ph( h, p)    B( x, h, b)    C( x, h, p)    D( h)    P( x, h, p, b)    R( h, p, b)    S( x, h)    T( x, h)    .x. ( x, h)    E( x, h, p, b)    .^ ( x, h)    F( x, h)    G( x, h)    H( h)    I( x, p, b)    K( h, p, b)    V( x, h, p, b)    .0. ( h)

Proof of Theorem evlslem3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.p . . . 4  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 evlslem1.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
3 evlslem3.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 evlslem1.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
5 evlslem1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
6 evlslem1.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7 crngrng 15675 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9 evlslem1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
10 evlslem3.q . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  K )
11 evlslem3.k . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
121, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11mplmon2cl 16561 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  e.  B
)
13 fveq1 5728 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( p `  b
)  =  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )
1413fveq2d 5733 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( F `  (
p `  b )
)  =  ( F `
 ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )
) `  b )
) )
1514oveq1d 6097 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )
1615mpteq2dv 4297 . . . . 5  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  (
( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )
1716oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
18 evlslem1.e . . . 4  |-  E  =  ( p  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
19 ovex 6107 . . . 4  |-  ( S 
gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 5807 . . 3  |-  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  e.  B  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
2112, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
22 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  b  e.  D )
23 fvex 5743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
243, 23eqeltri 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  e.  _V
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
26 ifexg 3799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  K  /\  .0.  e.  _V )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )
2710, 25, 26syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )
2827adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )
29 eqeq1 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
x  =  A  <->  b  =  A ) )
3029ifbid 3758 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )  =  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )
31 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )
)  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )
)
3230, 31fvmptg 5805 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  D  /\  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b )  =  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )
3322, 28, 32syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
)  =  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)
3433fveq2d 5733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( F `  ( (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  =  ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
) )
3534oveq1d 6097 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( F `  (
( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) )
3635mpteq2dva 4296 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )
3736oveq2d 6098 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
38 evlslem1.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  S
)
39 eqid 2437 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
40 evlslem1.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
41 crngrng 15675 . . . . . 6  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
4240, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
43 rngmnd 15674 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Mnd )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Mnd )
45 ovex 6107 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4645rabex 4355 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
472, 46eqeltri 2507 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
4847a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
4942adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  S  e.  Ring )
50 evlslem1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
514, 38rhmf 15828 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : K
--> C )
5250, 51syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : K --> C )
534, 3rng0cl 15686 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
548, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
55 ifcl 3776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  K  /\  .0.  e.  K )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  K )
5610, 54, 55syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  K
)
5752, 56ffvelrnd 5872 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  e.  C
)
5857adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( F `  if (
b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  e.  C )
59 evlslem1.t . . . . . . . 8  |-  T  =  (mulGrp `  S )
6059, 38mgpbas 15655 . . . . . . 7  |-  C  =  ( Base `  T
)
61 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
6259crngmgp 15673 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  CRing  ->  T  e. CMnd )
6340, 62syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
6463adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  T  e. CMnd )
655adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  I  e.  _V )
66 cmnmnd 15428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. CMnd  ->  T  e.  Mnd )
6763, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  Mnd )
6867ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  T  e.  Mnd )
69 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  y  e.  NN0 )
70 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  z  e.  C )
71 evlslem1.x . . . . . . . . . 10  |-  .^  =  (.g
`  T )
7260, 71mulgnn0cl 14907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  C )  ->  (
y  .^  z )  e.  C )
7368, 69, 70, 72syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  ( y  .^  z )  e.  C
)
742psrbagf 16433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  D )  ->  b : I --> NN0 )
755, 74sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  b : I --> NN0 )
76 evlslem1.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
7776adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  G : I --> C )
78 inidm 3551 . . . . . . . 8  |-  ( I  i^i  I )  =  I
7973, 75, 77, 65, 65, 78off 6321 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
b  o F  .^  G ) : I --> C )
802psrbag 16432 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  _V  ->  (
b  e.  D  <->  ( b : I --> NN0  /\  ( `' b " NN )  e.  Fin )
) )
815, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( b  e.  D  <->  ( b : I --> NN0  /\  ( `' b " NN )  e.  Fin )
) )
8281simplbda 609 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( `' b " NN )  e.  Fin )
83 ffn 5592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b : I --> NN0  ->  b  Fn  I )
8475, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  b  Fn  I )
8584adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
b  Fn  I )
86 ffn 5592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : I --> C  ->  G  Fn  I )
8776, 86syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  I )
8887ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  G  Fn  I )
895ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  I  e.  _V )
90 eldifi 3470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( I  \ 
( `' b " NN ) )  ->  y  e.  I )
9190adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
y  e.  I )
92 fnfvof 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  Fn  I  /\  G  Fn  I
)  /\  ( I  e.  _V  /\  y  e.  I ) )  -> 
( ( b  o F  .^  G ) `  y )  =  ( ( b `  y
)  .^  ( G `  y ) ) )
9385, 88, 89, 91, 92syl22anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b  o F  .^  G ) `  y )  =  ( ( b `  y
)  .^  ( G `  y ) ) )
94 eldifn 3471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( I  \ 
( `' b " NN ) )  ->  -.  y  e.  ( `' b " NN ) )
9594adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  -.  y  e.  ( `' b " NN ) )
9690ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  y  e.  I )
97 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  (
b `  y )  e.  NN )
9884ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  b  Fn  I )
99 elpreima 5851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  Fn  I  ->  (
y  e.  ( `' b " NN )  <-> 
( y  e.  I  /\  ( b `  y
)  e.  NN ) ) )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  (
y  e.  ( `' b " NN )  <-> 
( y  e.  I  /\  ( b `  y
)  e.  NN ) ) )
10196, 97, 100mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  y  e.  ( `' b " NN ) )
10295, 101mtand 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  -.  ( b `  y
)  e.  NN )
103 ffvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b : I --> NN0  /\  y  e.  I )  ->  ( b `  y
)  e.  NN0 )
10475, 90, 103syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( b `  y
)  e.  NN0 )
105 elnn0 10224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b `  y )  e.  NN0  <->  ( ( b `
 y )  e.  NN  \/  ( b `
 y )  =  0 ) )
106104, 105sylib 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b `  y )  e.  NN  \/  ( b `  y
)  =  0 ) )
107 orel1 373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( b `  y
)  e.  NN  ->  ( ( ( b `  y )  e.  NN  \/  ( b `  y
)  =  0 )  ->  ( b `  y )  =  0 ) )
108102, 106, 107sylc 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( b `  y
)  =  0 )
109108oveq1d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b `  y )  .^  ( G `  y )
)  =  ( 0 
.^  ( G `  y ) ) )
110 ffvelrn 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : I --> C  /\  y  e.  I )  ->  ( G `  y
)  e.  C )
11177, 90, 110syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( G `  y
)  e.  C )
11260, 61, 71mulg0 14896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  y )  e.  C  ->  (
0  .^  ( G `  y ) )  =  ( 0g `  T
) )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( 0  .^  ( G `  y )
)  =  ( 0g
`  T ) )
11493, 109, 1133eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b  o F  .^  G ) `  y )  =  ( 0g `  T ) )
11579, 114suppss 5864 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( `' ( b  o F  .^  G ) " ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  C_  ( `' b " NN ) )
116 ssfi 7330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' b " NN )  e.  Fin  /\  ( `' ( b  o F  .^  G
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  C_  ( `' b " NN ) )  ->  ( `' ( b  o F  .^  G ) " ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  e.  Fin )
11782, 115, 116syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( `' ( b  o F  .^  G ) " ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  e.  Fin )
11860, 61, 64, 65, 79, 117gsumcl 15522 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) )  e.  C )
119 evlslem1.m . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  S )
12038, 119rngcl 15678 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( F `  if (
b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  e.  C  /\  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) )  e.  C )  -> 
( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  e.  C )
12149, 58, 118, 120syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  e.  C )
122 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) )
123121, 122fmptd 5894 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) : D --> C )
124 eldifsni 3929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  -> 
b  =/=  A )
125124neneqd 2618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  ->  -.  b  =  A
)
126 iffalse 3747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  b  =  A  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  .0.  )
127125, 126syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  .0.  )
128127adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  .0.  )
129128fveq2d 5733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  =  ( F `  .0.  )
)
130 rhmghm 15827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
13150, 130syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R 
GrpHom  S ) )
1323, 39ghmid 15013 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  S ) )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  S ) )
134133adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( F `  .0.  )  =  ( 0g `  S ) )
135129, 134eqtrd 2469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  =  ( 0g `  S ) )
136135oveq1d 6097 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( ( 0g `  S ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) ) )
13742adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  ->  S  e.  Ring )
138 eldifi 3470 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  -> 
b  e.  D )
139138, 118sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) )  e.  C )
14038, 119, 39rnglz 15701 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) )  e.  C )  -> 
( ( 0g `  S )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( 0g
`  S ) )
141137, 139, 140syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( ( 0g `  S )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( 0g
`  S ) )
142136, 141eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( 0g
`  S ) )
143142suppss2 6301 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  { A } )
14438, 39, 44, 48, 11, 123, 143gsumpt 15546 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) `  A
) )
14537, 144eqtrd 2469 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) `  A
) )
146 iftrue 3746 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  H )
147146fveq2d 5733 . . . . 5  |-  ( b  =  A  ->  ( F `  if (
b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  =  ( F `
 H ) )
148 oveq1 6089 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  (
b  o F  .^  G )  =  ( A  o F  .^  G ) )
149148oveq2d 6098 . . . . 5  |-  ( b  =  A  ->  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) )  =  ( T  gsumg  ( A  o F  .^  G
) ) )
150147, 149oveq12d 6100 . . . 4  |-  ( b  =  A  ->  (
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  o F  .^  G
) ) ) )
151 ovex 6107 . . . 4  |-  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  o F  .^  G
) ) )  e. 
_V
152150, 122, 151fvmpt 5807 . . 3  |-  ( A  e.  D  ->  (
( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) `  A
)  =  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  o F  .^  G
) ) ) )
15311, 152syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) `  A
)  =  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  o F  .^  G
) ) ) )
15421, 145, 1533eqtrd 2473 1  |-  ( ph  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( ( F `  H )  .x.  ( T  gsumg  ( A  o F 
.^  G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2710   _Vcvv 2957    \ cdif 3318    C_ wss 3321   ifcif 3740   {csn 3815    e. cmpt 4267   `'ccnv 4878   "cima 4882    Fn wfn 5450   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    o Fcof 6304    ^m cmap 7019   Fincfn 7110   0cc0 8991   NNcn 10001   NN0cn0 10222   Basecbs 13470   .rcmulr 13531   0gc0g 13724    gsumg cgsu 13725   Mndcmnd 14685  .gcmg 14690    GrpHom cghm 15004  CMndccmn 15413  mulGrpcmgp 15649   Ringcrg 15661   CRingccrg 15662   RingHom crh 15818   mVar cmvr 16408   mPoly cmpl 16409
This theorem is referenced by:  evlslem1  19937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-hash 11620  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mulg 14816  df-subg 14942  df-ghm 15005  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-cring 15665  df-ur 15666  df-rnghom 15820  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-psr 16418  df-mpl 16420
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