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Theorem evlslem3 19398
Description: Lemma for evlseu 19400. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
evlslem1.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
evlslem1.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
evlslem1.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
evlslem1.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
evlslem1.t  |-  T  =  (mulGrp `  S )
evlslem1.x  |-  .^  =  (.g
`  T )
evlslem1.m  |-  .x.  =  ( .r `  S )
evlslem1.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
evlslem1.e  |-  E  =  ( p  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
evlslem1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
evlslem1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evlslem1.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlslem1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
evlslem1.g  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
evlslem3.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem3.k  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
evlslem3.q  |-  ( ph  ->  H  e.  K )
Assertion
Ref Expression
evlslem3  |-  ( ph  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( ( F `  H )  .x.  ( T  gsumg  ( A  o F 
.^  G ) ) ) )
Distinct variable groups:    p, b, x,  .0.    B, p    C, b    D, b, p, x    F, b, p    .^ , b, p   
h, b, A, p, x    h, I    x, K    ph, b, x    G, b, p    H, b, p, x    S, b, p    T, b, p    .x. , b, p   
x, R
Allowed substitution hints:    ph( h, p)    B( x, h, b)    C( x, h, p)    D( h)    P( x, h, p, b)    R( h, p, b)    S( x, h)    T( x, h)    .x. ( x, h)    E( x, h, p, b)    .^ ( x, h)    F( x, h)    G( x, h)    H( h)    I( x, p, b)    K( h, p, b)    V( x, h, p, b)    .0. ( h)

Proof of Theorem evlslem3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.p . . . 4  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 evlslem1.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
3 evlslem3.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 evlslem1.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
5 evlslem1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
6 evlslem1.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7 crngrng 15351 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9 evlslem1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
10 evlslem3.q . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  K )
11 evlslem3.k . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
121, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11mplmon2cl 16241 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  e.  B
)
13 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( p `  b
)  =  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )
1413fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( F `  (
p `  b )
)  =  ( F `
 ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )
) `  b )
) )
1514oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )
1615mpteq2dv 4107 . . . . 5  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  (
( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )
1716oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
18 evlslem1.e . . . 4  |-  E  =  ( p  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
19 ovex 5883 . . . 4  |-  ( S 
gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 5602 . . 3  |-  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  e.  B  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
2112, 20syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
22 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  b  e.  D )
23 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
243, 23eqeltri 2353 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  e.  _V
2524a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
26 ifexg 3624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  K  /\  .0.  e.  _V )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )
2710, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )
2827adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )
29 eqeq1 2289 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
x  =  A  <->  b  =  A ) )
3029ifbid 3583 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )  =  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )
31 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )
)  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )
)
3230, 31fvmptg 5600 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  D  /\  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b )  =  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )
3322, 28, 32syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
)  =  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)
3433fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( F `  ( (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  =  ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
) )
3534oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( F `  (
( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) )
3635mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )
3736oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) ) )
38 evlslem1.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  S
)
39 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
40 evlslem1.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
41 crngrng 15351 . . . . . 6  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
4240, 41syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
43 rngmnd 15350 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Mnd )
4442, 43syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Mnd )
45 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4645rabex 4165 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
472, 46eqeltri 2353 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
4847a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
4942adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  S  e.  Ring )
50 evlslem1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
514, 38rhmf 15504 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : K
--> C )
5250, 51syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : K --> C )
534, 3rng0cl 15362 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
548, 53syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
55 ifcl 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  K  /\  .0.  e.  K )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  K )
5610, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  K
)
57 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : K --> C  /\  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  K )  ->  ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  e.  C
)
5852, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  e.  C
)
5958adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( F `  if (
b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  e.  C )
60 evlslem1.t . . . . . . . 8  |-  T  =  (mulGrp `  S )
6160, 38mgpbas 15331 . . . . . . 7  |-  C  =  ( Base `  T
)
62 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
6360crngmgp 15349 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  CRing  ->  T  e. CMnd )
6440, 63syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
6564adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  T  e. CMnd )
665adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  I  e.  _V )
67 cmnmnd 15104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. CMnd  ->  T  e.  Mnd )
6864, 67syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  Mnd )
6968ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  T  e.  Mnd )
70 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  y  e.  NN0 )
71 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  z  e.  C )
72 evlslem1.x . . . . . . . . . 10  |-  .^  =  (.g
`  T )
7361, 72mulgnn0cl 14583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  C )  ->  (
y  .^  z )  e.  C )
7469, 70, 71, 73syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  ( y  .^  z )  e.  C
)
752psrbagf 16113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  D )  ->  b : I --> NN0 )
765, 75sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  b : I --> NN0 )
77 evlslem1.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
7877adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  G : I --> C )
79 inidm 3378 . . . . . . . 8  |-  ( I  i^i  I )  =  I
8074, 76, 78, 66, 66, 79off 6093 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
b  o F  .^  G ) : I --> C )
812psrbag 16112 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  _V  ->  (
b  e.  D  <->  ( b : I --> NN0  /\  ( `' b " NN )  e.  Fin )
) )
825, 81syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( b  e.  D  <->  ( b : I --> NN0  /\  ( `' b " NN )  e.  Fin )
) )
8382simplbda 607 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( `' b " NN )  e.  Fin )
84 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b : I --> NN0  ->  b  Fn  I )
8576, 84syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  b  Fn  I )
8685adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
b  Fn  I )
87 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : I --> C  ->  G  Fn  I )
8877, 87syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  I )
8988ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  G  Fn  I )
905ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  I  e.  _V )
91 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( I  \ 
( `' b " NN ) )  ->  y  e.  I )
9291adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
y  e.  I )
93 fnfvof 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  Fn  I  /\  G  Fn  I
)  /\  ( I  e.  _V  /\  y  e.  I ) )  -> 
( ( b  o F  .^  G ) `  y )  =  ( ( b `  y
)  .^  ( G `  y ) ) )
9486, 89, 90, 92, 93syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b  o F  .^  G ) `  y )  =  ( ( b `  y
)  .^  ( G `  y ) ) )
95 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( I  \ 
( `' b " NN ) )  ->  -.  y  e.  ( `' b " NN ) )
9695adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  -.  y  e.  ( `' b " NN ) )
9791ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  y  e.  I )
98 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  (
b `  y )  e.  NN )
9985ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  b  Fn  I )
100 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  Fn  I  ->  (
y  e.  ( `' b " NN )  <-> 
( y  e.  I  /\  ( b `  y
)  e.  NN ) ) )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  (
y  e.  ( `' b " NN )  <-> 
( y  e.  I  /\  ( b `  y
)  e.  NN ) ) )
10297, 98, 101mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  y  e.  ( `' b " NN ) )
10396, 102mtand 640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  -.  ( b `  y
)  e.  NN )
104 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b : I --> NN0  /\  y  e.  I )  ->  ( b `  y
)  e.  NN0 )
10576, 91, 104syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( b `  y
)  e.  NN0 )
106 elnn0 9967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b `  y )  e.  NN0  <->  ( ( b `
 y )  e.  NN  \/  ( b `
 y )  =  0 ) )
107105, 106sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b `  y )  e.  NN  \/  ( b `  y
)  =  0 ) )
108 orel1 371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( b `  y
)  e.  NN  ->  ( ( ( b `  y )  e.  NN  \/  ( b `  y
)  =  0 )  ->  ( b `  y )  =  0 ) )
109103, 107, 108sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( b `  y
)  =  0 )
110109oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b `  y )  .^  ( G `  y )
)  =  ( 0 
.^  ( G `  y ) ) )
111 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : I --> C  /\  y  e.  I )  ->  ( G `  y
)  e.  C )
11278, 91, 111syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( G `  y
)  e.  C )
11361, 62, 72mulg0 14572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  y )  e.  C  ->  (
0  .^  ( G `  y ) )  =  ( 0g `  T
) )
114112, 113syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( 0  .^  ( G `  y )
)  =  ( 0g
`  T ) )
11594, 110, 1143eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b  o F  .^  G ) `  y )  =  ( 0g `  T ) )
11680, 115suppss 5658 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( `' ( b  o F  .^  G ) " ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  C_  ( `' b " NN ) )
117 ssfi 7083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' b " NN )  e.  Fin  /\  ( `' ( b  o F  .^  G
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  C_  ( `' b " NN ) )  ->  ( `' ( b  o F  .^  G ) " ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  e.  Fin )
11883, 116, 117syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( `' ( b  o F  .^  G ) " ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  e.  Fin )
11961, 62, 65, 66, 80, 118gsumcl 15198 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) )  e.  C )
120 evlslem1.m . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  S )
12138, 120rngcl 15354 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( F `  if (
b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  e.  C  /\  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) )  e.  C )  -> 
( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  e.  C )
12249, 59, 119, 121syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  e.  C )
123 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) )
124122, 123fmptd 5684 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) : D --> C )
125 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  -> 
b  =/=  A )
126125neneqd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  ->  -.  b  =  A
)
127 iffalse 3572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  b  =  A  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  .0.  )
128126, 127syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  .0.  )
129128adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  .0.  )
130129fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  =  ( F `  .0.  )
)
131 rhmghm 15503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
13250, 131syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R 
GrpHom  S ) )
1333, 39ghmid 14689 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  S ) )
134132, 133syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  S ) )
135134adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( F `  .0.  )  =  ( 0g `  S ) )
136130, 135eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  =  ( 0g `  S ) )
137136oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( ( 0g `  S ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G
) ) ) )
13842adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  ->  S  e.  Ring )
139 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  -> 
b  e.  D )
140139, 119sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) )  e.  C )
14138, 120, 39rnglz 15377 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) )  e.  C )  -> 
( ( 0g `  S )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( 0g
`  S ) )
142138, 140, 141syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( ( 0g `  S )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( 0g
`  S ) )
143137, 142eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( 0g
`  S ) )
144143suppss2 6073 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F  .^  G ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  { A } )
14538, 39, 44, 48, 11, 124, 144gsumpt 15222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) `  A
) )
14637, 145eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) `  A
) )
147 iftrue 3571 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  H )
148147fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( b  =  A  ->  ( F `  if (
b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  =  ( F `
 H ) )
149 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  (
b  o F  .^  G )  =  ( A  o F  .^  G ) )
150149oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( b  =  A  ->  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) )  =  ( T  gsumg  ( A  o F  .^  G
) ) )
151148, 150oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( b  =  A  ->  (
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) )  =  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  o F  .^  G
) ) ) )
152 ovex 5883 . . . 4  |-  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  o F  .^  G
) ) )  e. 
_V
153151, 123, 152fvmpt 5602 . . 3  |-  ( A  e.  D  ->  (
( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) `  A
)  =  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  o F  .^  G
) ) ) )
15411, 153syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  o F 
.^  G ) ) ) ) `  A
)  =  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  o F  .^  G
) ) ) )
15521, 146, 1543eqtrd 2319 1  |-  ( ph  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( ( F `  H )  .x.  ( T  gsumg  ( A  o F 
.^  G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   0cc0 8737   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  .gcmg 14366    GrpHom cghm 14680  CMndccmn 15089  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   RingHom crh 15494   mVar cmvr 16088   mPoly cmpl 16089
This theorem is referenced by:  evlslem1  19399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-rnghom 15496  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-psr 16098  df-mpl 16100
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