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Theorem evlslem4 16245
Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem4.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evlslem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem4.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
evlslem4.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
evlslem4.x  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
evlslem4.y  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
evlslem4  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    x, J, y    ph, x, y    y, X    x, B, y    x,  .x. , y    x, Y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    X( x)    Y( y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem evlslem4
Dummy variables  i 
j  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
2 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
3 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  I  |->  X )
4 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
i
53, 4nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
6 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  .x.
7 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
85, 6, 7nfov 5881 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
9 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
10 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ y  .x.
11 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( y  e.  J  |->  Y )
12 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
j
1311, 12nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
149, 10, 13nfov 5881 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
15 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) )
16 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
)  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
1715, 16oveqan12d 5877 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
181, 2, 8, 14, 17cbvmpt2 5925 . . . . . 6  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
19 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  i  e. 
_V
20 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  j  e. 
_V
2119, 20eqop2 6163 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. i ,  j
>. 
<->  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  /\  ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) ) )
22 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  z )  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i ) )
23 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  z )  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )
2422, 23oveqan12d 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
2524adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( _V 
X.  _V )  /\  (
( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2621, 25sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. i ,  j
>.  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2726mpt2mpt 5939 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) ) )
2818, 27eqtr4i 2306 . . . . 5  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
29 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  x  e.  I )
30 evlslem4.x . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
31303adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  X  e.  B )
32 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  |->  X )  =  ( x  e.  I  |->  X )
3332fvmpt2 5608 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  X  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
3429, 31, 33syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
35 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  J )
36 evlslem4.y . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
37363adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  Y  e.  B )
38 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  J  |->  Y )  =  ( y  e.  J  |->  Y )
3938fvmpt2 5608 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  J  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
4035, 37, 39syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
4134, 40oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( X 
.x.  Y ) )
4241mpt2eq3dva 5912 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
4328, 42syl5reqr 2330 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) )
4443cnveqd 4857 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) )  =  `' ( z  e.  ( I  X.  J
)  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) )
4544imaeq1d 5011 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( `' ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
46 difxp 6153 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  J ) 
\  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( ( ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  u.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )
4746eleq2i 2347 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  <->  z  e.  ( ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  u.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ) )
48 elun 3316 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  \/  z  e.  ( I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )
4947, 48bitri 240 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  \/  z  e.  ( I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )
5030, 32fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
51 xp1st 6149 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  X.  J )  ->  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
52 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  -> 
( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
53 ssid 3197 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
5453a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  -> 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
5552, 54suppssr 5659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  =  .0.  )
5650, 51, 55syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  .0.  )
5756oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  (  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
58 evlslem4.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5958adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  R  e.  Ring )
6036, 38fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
61 xp2nd 6150 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  X.  J )  ->  ( 2nd `  z )  e.  J )
62 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  ( 2nd `  z
)  e.  J )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) )  e.  B
)
6360, 61, 62syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )
64 evlslem4.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
65 evlslem4.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
66 evlslem4.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
6764, 65, 66rnglz 15377 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )  -> 
(  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
6859, 63, 67syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
6957, 68eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
70 xp2nd 6150 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
71 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  -> 
( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
72 ssid 3197 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
7372a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  -> 
( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
7471, 73suppssr 5659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  ( 2nd `  z
)  e.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) )  =  .0.  )
7560, 70, 74syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  .0.  )
7675oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  ) )
7758adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
78 xp1st 6149 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( 1st `  z )  e.  I
)
79 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  ( 1st `  z )  e.  I
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
8050, 78, 79syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
8164, 65, 66rngrz 15378 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
8277, 80, 81syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
8376, 82eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
8469, 83jaodan 760 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  \/  z  e.  ( I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
8549, 84sylan2b 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  X.  J )  \  (
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
8685suppss2 6073 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
8745, 86eqsstrd 3212 1  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400   Ringcrg 15337
This theorem is referenced by:  evlslem2  16249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mgp 15326  df-rng 15340
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