MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlssca Unicode version

Theorem evlssca 19422
Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlssca.q  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
evlssca.w  |-  W  =  ( I mPoly  U )
evlssca.u  |-  U  =  ( Ss  R )
evlssca.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
evlssca.a  |-  A  =  (algSc `  W )
evlssca.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
evlssca.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlssca.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
evlssca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
Assertion
Ref Expression
evlssca  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( A `  X )
)  =  ( ( B  ^m  I )  X.  { X }
) )

Proof of Theorem evlssca
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlssca.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2 elex 2809 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
31, 2syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 evlssca.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
5 evlssca.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
6 evlssca.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
7 evlssca.w . . . . . . 7  |-  W  =  ( I mPoly  U )
8 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( I mVar 
U )  =  ( I mVar  U )
9 evlssca.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( Ss  R )
10 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
11 evlssca.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
12 evlssca.a . . . . . . 7  |-  A  =  (algSc `  W )
13 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I
)  X.  { x } ) )
14 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( y `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( y `
 x ) ) )
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14evlsval2 19420 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( Q  e.  ( W RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  /\  (
( Q  o.  A
)  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  /\  ( Q  o.  ( I mVar  U ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( y `  x ) ) ) ) ) )
163, 4, 5, 15syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( W RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  /\  ( ( Q  o.  A )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X. 
{ x } ) )  /\  ( Q  o.  ( I mVar  U
) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( y `  x ) ) ) ) ) )
1716simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  A )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I
)  X.  { x } ) )  /\  ( Q  o.  (
I mVar  U ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( y `  x
) ) ) ) )
1817simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  A
)  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) ) )
1918fveq1d 5543 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  A ) `  X
)  =  ( ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I
)  X.  { x } ) ) `  X ) )
20 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
229subrgrng 15564 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  U  e.  Ring )
235, 22syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Ring )
247, 20, 21, 12, 1, 23mplasclf 16254 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : ( Base `  U ) --> ( Base `  W ) )
2511subrgss 15562 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  R  C_  B
)
269, 11ressbas2 13215 . . . . . 6  |-  ( R 
C_  B  ->  R  =  ( Base `  U
) )
275, 25, 263syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  =  ( Base `  U ) )
2827feq2d 5396 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A : R --> ( Base `  W )  <->  A : ( Base `  U
) --> ( Base `  W
) ) )
2924, 28mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  A : R --> ( Base `  W ) )
30 evlssca.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
31 fvco3 5612 . . 3  |-  ( ( A : R --> ( Base `  W )  /\  X  e.  R )  ->  (
( Q  o.  A
) `  X )  =  ( Q `  ( A `  X ) ) )
3229, 30, 31syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  A ) `  X
)  =  ( Q `
 ( A `  X ) ) )
33 sneq 3664 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
3433xpeq2d 4729 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( B  ^m  I
)  X.  { x } )  =  ( ( B  ^m  I
)  X.  { X } ) )
35 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( B  ^m  I )  e. 
_V
36 snex 4232 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
3735, 36xpex 4817 . . . 4  |-  ( ( B  ^m  I )  X.  { X }
)  e.  _V
3834, 13, 37fvmpt 5618 . . 3  |-  ( X  e.  R  ->  (
( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
x } ) ) `
 X )  =  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } ) )
3930, 38syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X. 
{ x } ) ) `  X )  =  ( ( B  ^m  I )  X. 
{ X } ) )
4019, 32, 393eqtr3d 2336 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( A `  X )
)  =  ( ( B  ^m  I )  X.  { X }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Basecbs 13164   ↾s cress 13165    ^s cpws 13363   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   RingHom crh 15510  SubRingcsubrg 15557  algSccascl 16068   mVar cmvr 16104   mPoly cmpl 16105   evalSub ces 16106
This theorem is referenced by:  evl1sca  19429  mpfconst  19438  mpfind  19444  pf1ind  19454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-assa 16069  df-asp 16070  df-ascl 16071  df-psr 16114  df-mvr 16115  df-mpl 16116  df-evls 16117
  Copyright terms: Public domain W3C validator