MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlssca Unicode version

Theorem evlssca 19803
Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlssca.q  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
evlssca.w  |-  W  =  ( I mPoly  U )
evlssca.u  |-  U  =  ( Ss  R )
evlssca.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
evlssca.a  |-  A  =  (algSc `  W )
evlssca.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
evlssca.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlssca.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
evlssca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
Assertion
Ref Expression
evlssca  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( A `  X )
)  =  ( ( B  ^m  I )  X.  { X }
) )

Proof of Theorem evlssca
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlssca.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2 elex 2900 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 evlssca.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
5 evlssca.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
6 evlssca.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
7 evlssca.w . . . . . . 7  |-  W  =  ( I mPoly  U )
8 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  ( I mVar 
U )  =  ( I mVar  U )
9 evlssca.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( Ss  R )
10 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
11 evlssca.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
12 evlssca.a . . . . . . 7  |-  A  =  (algSc `  W )
13 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I
)  X.  { x } ) )
14 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( y `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( y `
 x ) ) )
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14evlsval2 19801 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( Q  e.  ( W RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  /\  (
( Q  o.  A
)  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  /\  ( Q  o.  ( I mVar  U ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( y `  x ) ) ) ) ) )
163, 4, 5, 15syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( W RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  /\  ( ( Q  o.  A )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X. 
{ x } ) )  /\  ( Q  o.  ( I mVar  U
) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( y `  x ) ) ) ) ) )
1716simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  A )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I
)  X.  { x } ) )  /\  ( Q  o.  (
I mVar  U ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( y `  x
) ) ) ) )
1817simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  A
)  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) ) )
1918fveq1d 5663 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  A ) `  X
)  =  ( ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I
)  X.  { x } ) ) `  X ) )
20 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
229subrgrng 15791 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  U  e.  Ring )
235, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Ring )
247, 20, 21, 12, 1, 23mplasclf 16477 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : ( Base `  U ) --> ( Base `  W ) )
2511subrgss 15789 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  R  C_  B
)
269, 11ressbas2 13440 . . . . . 6  |-  ( R 
C_  B  ->  R  =  ( Base `  U
) )
275, 25, 263syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  =  ( Base `  U ) )
2827feq2d 5514 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A : R --> ( Base `  W )  <->  A : ( Base `  U
) --> ( Base `  W
) ) )
2924, 28mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  A : R --> ( Base `  W ) )
30 evlssca.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
31 fvco3 5732 . . 3  |-  ( ( A : R --> ( Base `  W )  /\  X  e.  R )  ->  (
( Q  o.  A
) `  X )  =  ( Q `  ( A `  X ) ) )
3229, 30, 31syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  A ) `  X
)  =  ( Q `
 ( A `  X ) ) )
33 sneq 3761 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
3433xpeq2d 4835 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( B  ^m  I
)  X.  { x } )  =  ( ( B  ^m  I
)  X.  { X } ) )
35 ovex 6038 . . . . 5  |-  ( B  ^m  I )  e. 
_V
36 snex 4339 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
3735, 36xpex 4923 . . . 4  |-  ( ( B  ^m  I )  X.  { X }
)  e.  _V
3834, 13, 37fvmpt 5738 . . 3  |-  ( X  e.  R  ->  (
( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
x } ) ) `
 X )  =  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } ) )
3930, 38syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X. 
{ x } ) ) `  X )  =  ( ( B  ^m  I )  X. 
{ X } ) )
4019, 32, 393eqtr3d 2420 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( A `  X )
)  =  ( ( B  ^m  I )  X.  { X }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   {csn 3750    e. cmpt 4200    X. cxp 4809    o. ccom 4815   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    ^m cmap 6947   Basecbs 13389   ↾s cress 13390    ^s cpws 13590   Ringcrg 15580   CRingccrg 15581   RingHom crh 15737  SubRingcsubrg 15784  algSccascl 16291   mVar cmvr 16327   mPoly cmpl 16328   evalSub ces 16329
This theorem is referenced by:  evl1sca  19810  mpfconst  19819  mpfind  19825  pf1ind  19835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-ofr 6238  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-hash 11539  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-hom 13473  df-cco 13474  df-prds 13591  df-pws 13593  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-mhm 14658  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-mulg 14735  df-subg 14861  df-ghm 14924  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-cring 15584  df-ur 15585  df-rnghom 15739  df-subrg 15786  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lsp 15968  df-assa 16292  df-asp 16293  df-ascl 16294  df-psr 16337  df-mvr 16338  df-mpl 16339  df-evls 16340
  Copyright terms: Public domain W3C validator