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Theorem evlsval 19403
Description: Value of the polynomial evaluation map function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsval.q  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
evlsval.w  |-  W  =  ( I mPoly  U )
evlsval.v  |-  V  =  ( I mVar  U )
evlsval.u  |-  U  =  ( Ss  R )
evlsval.t  |-  T  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) )
evlsval.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
evlsval.a  |-  A  =  (algSc `  W )
evlsval.x  |-  X  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
x } ) )
evlsval.y  |-  Y  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
evlsval  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  Q  =  ( iota_ f  e.  ( W RingHom  T ) ( ( f  o.  A )  =  X  /\  (
f  o.  V )  =  Y ) ) )
Distinct variable groups:    f, I,
g, x    R, f, x    S, f, g, x    T, f    f, W
Allowed substitution hints:    A( x, f, g)    B( x, f, g)    Q( x, f, g)    R( g)    T( x, g)    U( x, f, g)    V( x, f, g)    W( x, g)    X( x, f, g)    Y( x, f, g)

Proof of Theorem evlsval
Dummy variables  b 
i  r  s  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsval.q . . . 4  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
2 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
32adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( Base `  s
)  =  ( Base `  S ) )
43csbeq1d 3087 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ (
i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  S )  /  b ]_ (
r  e.  (SubRing `  s
)  |->  [_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
5 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  S )  e.  _V
65a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( Base `  S
)  e.  _V )
7 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  s  =  S )
87fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  (SubRing `  s )  =  (SubRing `  S ) )
9 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  i  =  I )
10 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  S  ->  (
ss  r )  =  ( Ss  r ) )
1110ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  (
ss  r )  =  ( Ss  r ) )
129, 11oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  (
i mPoly  ( ss  r ) )  =  ( I mPoly 
( Ss  r ) ) )
1312csbeq1d 3087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  [_ (
i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ (
I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
14 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I mPoly 
( Ss  r ) )  e.  _V
1514a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  (
I mPoly  ( Ss  r ) )  e.  _V )
16 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) )
17 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  s  =  S )
18 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  b  =  (
Base `  S )
)
19 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  i  =  I )
2018, 19oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( b  ^m  i )  =  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
)
2117, 20oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
)  =  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )
2216, 21oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( w RingHom  (
s  ^s  ( b  ^m  i
) ) )  =  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) )
2316fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  (algSc `  w
)  =  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )
2423coeq2d 4846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( f  o.  (algSc `  w )
)  =  ( f  o.  (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  r ) ) ) ) )
2520xpeq1d 4712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( ( b  ^m  i )  X. 
{ x } )  =  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )
2625mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i )  X. 
{ x } ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) ) )
2724, 26eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  <->  ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) ) ) )
2817oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( ss  r )  =  ( Ss  r ) )
2919, 28oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( i mVar  (
ss  r ) )  =  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )
3029coeq2d 4846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) ) )
31 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( g `  x )  =  ( g `  x ) )
3220, 31mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( g  e.  ( b  ^m  i
)  |->  ( g `  x ) )  =  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) )
3319, 32mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i
)  |->  ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) )
3430, 33eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( ( f  o.  ( i mVar  (
ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i
)  |->  ( g `  x ) ) )  <-> 
( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( (
Base `  S )  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) ) ) )
3527, 34anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) )  <-> 
( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
3622, 35riotaeqbidv 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  r ) ) RingHom 
( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
3736anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) )  ->  ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  r ) ) RingHom 
( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
3815, 37csbied 3123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  [_ (
I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  r ) ) RingHom 
( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
3913, 38eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  [_ (
i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  r ) ) RingHom 
( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
408, 39mpteq12dv 4098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  (
r  e.  (SubRing `  s
)  |->  [_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
416, 40csbied 3123 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ (
i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
424, 41eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ (
i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
43 df-evls 16101 . . . . . 6  |- evalSub  =  ( i  e.  _V , 
s  e.  CRing  |->  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |-> 
[_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
44 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  (SubRing `  S
)  e.  _V
4544mptex 5746 . . . . . 6  |-  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  e.  _V
4642, 43, 45ovmpt2a 5978 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( I evalSub  S )  =  ( r  e.  (SubRing `  S )  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
4746fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R )  =  ( ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) `  R
) )
481, 47syl5eq 2327 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  ->  Q  =  ( (
r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) `  R
) )
49483adant3 975 . 2  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  Q  =  ( ( r  e.  (SubRing `  S )  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) `  R
) )
50 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ( Ss  r )  =  ( Ss  R ) )
5150oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
I mPoly  ( Ss  r ) )  =  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) )
5251oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( I mPoly  ( Ss  r
) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )  =  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) )
5351fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) )  =  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
5453coeq2d 4846 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
55 mpteq1 4100 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) ) )
5654, 55eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  <-> 
( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) ) ) )
5750oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
I mVar  ( Ss  r ) )  =  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )
5857coeq2d 4846 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) ) )
5958eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( (
Base `  S )  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) )  <->  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) )
6056, 59anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) )  <-> 
( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
6152, 60riotaeqbidv 6307 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  (
( Base `  S )  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
62 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
63 riotaex 6308 . . . . 5  |-  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) )  e.  _V
6461, 62, 63fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( (
r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) `  R
)  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
65 evlsval.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( I mPoly  U )
66 evlsval.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( Ss  R )
6766oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( I mPoly 
U )  =  ( I mPoly  ( Ss  R ) )
6865, 67eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  W  =  ( I mPoly  ( Ss  R ) )
69 evlsval.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) )
70 evlsval.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  S
)
7170oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  ^m  I )  =  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
7271oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
)
7369, 72eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  T  =  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) )
7468, 73oveq12i 5870 . . . . . . 7  |-  ( W RingHom  T )  =  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )
7574a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( W RingHom  T )  =  ( ( I mPoly 
( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) )
76 evlsval.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (algSc `  W )
7768fveq2i 5528 . . . . . . . . . . 11  |-  (algSc `  W )  =  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
7876, 77eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
7978coeq2i 4844 . . . . . . . . 9  |-  ( f  o.  A )  =  ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
80 evlsval.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
x } ) )
8171xpeq1i 4709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
)  =  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } )
8281mpteq2i 4103 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )
8380, 82eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( x  e.  R  |->  ( ( ( Base `  S )  ^m  I
)  X.  { x } ) )
8479, 83eqeq12i 2296 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o.  A )  =  X  <->  ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) ) )
85 evlsval.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( I mVar  U )
8666oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I mVar 
U )  =  ( I mVar  ( Ss  R ) )
8785, 86eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( I mVar  ( Ss  R ) )
8887coeq2i 4844 . . . . . . . . 9  |-  ( f  o.  V )  =  ( f  o.  (
I mVar  ( Ss  R ) ) )
89 evlsval.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) )
90 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g `
 x )  =  ( g `  x
)
9171, 90mpteq12i 4104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) )  =  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) )
9291mpteq2i 4103 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S )  ^m  I
)  |->  ( g `  x ) ) )
9389, 92eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) )
9488, 93eqeq12i 2296 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o.  V )  =  Y  <->  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) )
9584, 94anbi12i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  o.  A
)  =  X  /\  ( f  o.  V
)  =  Y )  <-> 
( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) )
9695a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( ( f  o.  A )  =  X  /\  ( f  o.  V )  =  Y )  <->  ( (
f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
9775, 96riotaeqbidv 6307 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( iota_ f  e.  ( W RingHom  T ) ( ( f  o.  A )  =  X  /\  (
f  o.  V )  =  Y ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
9897trud 1314 . . . 4  |-  ( iota_ f  e.  ( W RingHom  T
) ( ( f  o.  A )  =  X  /\  ( f  o.  V )  =  Y ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) )
9964, 98syl6eqr 2333 . . 3  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( (
r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) `  R
)  =  ( iota_ f  e.  ( W RingHom  T
) ( ( f  o.  A )  =  X  /\  ( f  o.  V )  =  Y ) ) )
100993ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( (
r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) `  R
)  =  ( iota_ f  e.  ( W RingHom  T
) ( ( f  o.  A )  =  X  /\  ( f  o.  V )  =  Y ) ) )
10149, 100eqtrd 2315 1  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  Q  =  ( iota_ f  e.  ( W RingHom  T ) ( ( f  o.  A )  =  X  /\  (
f  o.  V )  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   [_csb 3081   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297    ^m cmap 6772   Basecbs 13148   ↾s cress 13149    ^s cpws 13347   CRingccrg 15338   RingHom crh 15494  SubRingcsubrg 15541  algSccascl 16052   mVar cmvr 16088   mPoly cmpl 16089   evalSub ces 16090
This theorem is referenced by:  evlsval2  19404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-evls 16101
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