Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsval2 Structured version   Unicode version

Theorem evlsval2 19933
 Description: Characterizing properties of the polynomial evaluation map function. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsval.q evalSub
evlsval.w mPoly
evlsval.v mVar
evlsval.u s
evlsval.t s
evlsval.b
evlsval.a algSc
evlsval.x
evlsval.y
Assertion
Ref Expression
evlsval2 SubRing RingHom
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem evlsval2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsval.q . . . 4 evalSub
2 evlsval.w . . . 4 mPoly
3 evlsval.v . . . 4 mVar
4 evlsval.u . . . 4 s
5 evlsval.t . . . 4 s
6 evlsval.b . . . 4
7 evlsval.a . . . 4 algSc
8 evlsval.x . . . 4
9 evlsval.y . . . 4
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlsval 19932 . . 3 SubRing RingHom
11 eqid 2435 . . . . 5
12 simp1 957 . . . . 5 SubRing
134subrgcrng 15864 . . . . . 6 SubRing
14133adant1 975 . . . . 5 SubRing
15 simp2 958 . . . . . 6 SubRing
16 ovex 6098 . . . . . 6
175pwscrng 15715 . . . . . 6
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . 5 SubRing
196subrgss 15861 . . . . . . . . 9 SubRing
20193ad2ant3 980 . . . . . . . 8 SubRing
21 resmpt 5183 . . . . . . . 8
2220, 21syl 16 . . . . . . 7 SubRing
2322, 8syl6eqr 2485 . . . . . 6 SubRing
24 crngrng 15666 . . . . . . . . 9
25243ad2ant2 979 . . . . . . . 8 SubRing
26 eqid 2435 . . . . . . . . 9
275, 6, 26pwsdiagrhm 15893 . . . . . . . 8 RingHom
2825, 16, 27sylancl 644 . . . . . . 7 SubRing RingHom
29 simp3 959 . . . . . . 7 SubRing SubRing
304resrhm 15889 . . . . . . 7 RingHom SubRing RingHom
3128, 29, 30syl2anc 643 . . . . . 6 SubRing RingHom
3223, 31eqeltrrd 2510 . . . . 5 SubRing RingHom
33 fvex 5734 . . . . . . . . . . . 12
346, 33eqeltri 2505 . . . . . . . . . . 11
35 simpl1 960 . . . . . . . . . . 11 SubRing
36 elmapg 7023 . . . . . . . . . . 11
3734, 35, 36sylancr 645 . . . . . . . . . 10 SubRing
3837biimpa 471 . . . . . . . . 9 SubRing
39 simplr 732 . . . . . . . . 9 SubRing
4038, 39ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8 SubRing
41 eqid 2435 . . . . . . . 8
4240, 41fmptd 5885 . . . . . . 7 SubRing
43 simpl2 961 . . . . . . . 8 SubRing
445, 6, 11pwselbasb 13702 . . . . . . . 8
4543, 16, 44sylancl 644 . . . . . . 7 SubRing
4642, 45mpbird 224 . . . . . 6 SubRing
4746, 9fmptd 5885 . . . . 5 SubRing
482, 11, 7, 3, 12, 14, 18, 32, 47evlseu 19929 . . . 4 SubRing RingHom
49 riotacl2 6555 . . . 4 RingHom RingHom RingHom
5048, 49syl 16 . . 3 SubRing RingHom RingHom
5110, 50eqeltrd 2509 . 2 SubRing RingHom
52 coeq1 5022 . . . . 5
5352eqeq1d 2443 . . . 4
54 coeq1 5022 . . . . 5
5554eqeq1d 2443 . . . 4
5653, 55anbi12d 692 . . 3
5756elrab 3084 . 2 RingHom RingHom
5851, 57sylib 189 1 SubRing RingHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wreu 2699  crab 2701  cvv 2948   wss 3312  csn 3806   cmpt 4258   cxp 4868   cres 4872   ccom 4874  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  crio 6534   cmap 7010  cbs 13461   ↾s cress 13462   s cpws 13662  crg 15652  ccrg 15653   RingHom crh 15809  SubRingcsubrg 15856  algSccascl 16363   mVar cmvr 16399   mPoly cmpl 16400   evalSub ces 16401 This theorem is referenced by:  evlsrhm  19934  evlssca  19935  evlsvar  19936 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-pws 13665  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-rnghom 15811  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-assa 16364  df-asp 16365  df-ascl 16366  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411  df-evls 16412
 Copyright terms: Public domain W3C validator