MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsvar Unicode version

Theorem evlsvar 19812
Description: Polynomial evaluation maps variables to projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvar.q  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
evlsvar.v  |-  V  =  ( I mVar  U )
evlsvar.u  |-  U  =  ( Ss  R )
evlsvar.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
evlsvar.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
evlsvar.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlsvar.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
evlsvar.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
evlsvar  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( V `  X )
)  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) ) )
Distinct variable groups:    B, g    g, I    R, g    S, g   
g, X
Allowed substitution hints:    ph( g)    Q( g)    U( g)    V( g)    W( g)

Proof of Theorem evlsvar
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsvar.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2 elex 2908 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 evlsvar.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
5 evlsvar.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
6 evlsvar.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
7 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( I mPoly 
U )  =  ( I mPoly  U )
8 evlsvar.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( I mVar  U )
9 evlsvar.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( Ss  R )
10 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
11 evlsvar.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
12 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  (algSc `  ( I mPoly  U ) )  =  (algSc `  (
I mPoly  U ) )
13 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I
)  X.  { x } ) )
14 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) )
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14evlsval2 19809 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( Q  e.  ( ( I mPoly  U
) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  /\  ( ( Q  o.  (algSc `  ( I mPoly  U ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  /\  ( Q  o.  V )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
163, 4, 5, 15syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( ( I mPoly  U ) RingHom 
( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  /\  ( ( Q  o.  (algSc `  ( I mPoly  U ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  /\  ( Q  o.  V )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
1716simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  (algSc `  ( I mPoly  U
) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( Q  o.  V )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) ) )
1817simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  V
)  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) ) )
1918fveq1d 5671 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  V ) `  X
)  =  ( ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) `  X
) )
20 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( Base `  ( I mPoly  U ) )  =  ( Base `  ( I mPoly  U ) )
219subrgrng 15799 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  U  e.  Ring )
225, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Ring )
237, 8, 20, 1, 22mvrf2 16480 . . . 4  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  ( I mPoly  U ) ) )
24 ffn 5532 . . . 4  |-  ( V : I --> ( Base `  ( I mPoly  U ) )  ->  V  Fn  I )
2523, 24syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
26 evlsvar.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
27 fvco2 5738 . . 3  |-  ( ( V  Fn  I  /\  X  e.  I )  ->  ( ( Q  o.  V ) `  X
)  =  ( Q `
 ( V `  X ) ) )
2825, 26, 27syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  V ) `  X
)  =  ( Q `
 ( V `  X ) ) )
29 fveq2 5669 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
g `  x )  =  ( g `  X ) )
3029mpteq2dv 4238 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  x ) )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) ) )
31 ovex 6046 . . . . 5  |-  ( B  ^m  I )  e. 
_V
3231mptex 5906 . . . 4  |-  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) )  e.  _V
3330, 14, 32fvmpt 5746 . . 3  |-  ( X  e.  I  ->  (
( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) `  X )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  X ) ) )
3426, 33syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  x ) ) ) `
 X )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  X
) ) )
3519, 28, 343eqtr3d 2428 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( V `  X )
)  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900   {csn 3758    e. cmpt 4208    X. cxp 4817    o. ccom 4823    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^m cmap 6955   Basecbs 13397   ↾s cress 13398    ^s cpws 13598   Ringcrg 15588   CRingccrg 15589   RingHom crh 15745  SubRingcsubrg 15792  algSccascl 16299   mVar cmvr 16335   mPoly cmpl 16336   evalSub ces 16337
This theorem is referenced by:  evl1var  19820  mpfproj  19828  mpfind  19833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-hom 13481  df-cco 13482  df-prds 13599  df-pws 13601  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-ghm 14932  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-rnghom 15747  df-subrg 15794  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-assa 16300  df-asp 16301  df-ascl 16302  df-psr 16345  df-mvr 16346  df-mpl 16347  df-evls 16348
  Copyright terms: Public domain W3C validator