MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsvar Structured version   Unicode version

Theorem evlsvar 19934
Description: Polynomial evaluation maps variables to projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvar.q  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
evlsvar.v  |-  V  =  ( I mVar  U )
evlsvar.u  |-  U  =  ( Ss  R )
evlsvar.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
evlsvar.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
evlsvar.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlsvar.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
evlsvar.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
evlsvar  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( V `  X )
)  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) ) )
Distinct variable groups:    B, g    g, I    R, g    S, g   
g, X
Allowed substitution hints:    ph( g)    Q( g)    U( g)    V( g)    W( g)

Proof of Theorem evlsvar
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsvar.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2 elex 2956 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 evlsvar.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
5 evlsvar.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
6 evlsvar.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
7 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( I mPoly 
U )  =  ( I mPoly  U )
8 evlsvar.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( I mVar  U )
9 evlsvar.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( Ss  R )
10 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
11 evlsvar.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
12 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  (algSc `  ( I mPoly  U ) )  =  (algSc `  (
I mPoly  U ) )
13 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I
)  X.  { x } ) )
14 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) )
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14evlsval2 19931 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( Q  e.  ( ( I mPoly  U
) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  /\  ( ( Q  o.  (algSc `  ( I mPoly  U ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  /\  ( Q  o.  V )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
163, 4, 5, 15syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( ( I mPoly  U ) RingHom 
( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  /\  ( ( Q  o.  (algSc `  ( I mPoly  U ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  /\  ( Q  o.  V )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
1716simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  (algSc `  ( I mPoly  U
) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( Q  o.  V )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) ) )
1817simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  V
)  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) ) )
1918fveq1d 5722 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  V ) `  X
)  =  ( ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) `  X
) )
20 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  ( I mPoly  U ) )  =  ( Base `  ( I mPoly  U ) )
219subrgrng 15861 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  U  e.  Ring )
225, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Ring )
237, 8, 20, 1, 22mvrf2 16542 . . . 4  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  ( I mPoly  U ) ) )
24 ffn 5583 . . . 4  |-  ( V : I --> ( Base `  ( I mPoly  U ) )  ->  V  Fn  I )
2523, 24syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
26 evlsvar.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
27 fvco2 5790 . . 3  |-  ( ( V  Fn  I  /\  X  e.  I )  ->  ( ( Q  o.  V ) `  X
)  =  ( Q `
 ( V `  X ) ) )
2825, 26, 27syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  V ) `  X
)  =  ( Q `
 ( V `  X ) ) )
29 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
g `  x )  =  ( g `  X ) )
3029mpteq2dv 4288 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  x ) )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) ) )
31 ovex 6098 . . . . 5  |-  ( B  ^m  I )  e. 
_V
3231mptex 5958 . . . 4  |-  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) )  e.  _V
3330, 14, 32fvmpt 5798 . . 3  |-  ( X  e.  I  ->  (
( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) `  X )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  X ) ) )
3426, 33syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  x ) ) ) `
 X )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  X
) ) )
3519, 28, 343eqtr3d 2475 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( V `  X )
)  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806    e. cmpt 4258    X. cxp 4868    o. ccom 4874    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   Basecbs 13459   ↾s cress 13460    ^s cpws 13660   Ringcrg 15650   CRingccrg 15651   RingHom crh 15807  SubRingcsubrg 15854  algSccascl 16361   mVar cmvr 16397   mPoly cmpl 16398   evalSub ces 16399
This theorem is referenced by:  evl1var  19942  mpfproj  19950  mpfind  19955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-hash 11609  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-hom 13543  df-cco 13544  df-prds 13661  df-pws 13663  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-mhm 14728  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-mulg 14805  df-subg 14931  df-ghm 14994  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-cring 15654  df-ur 15655  df-rnghom 15809  df-subrg 15856  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-lsp 16038  df-assa 16362  df-asp 16363  df-ascl 16364  df-psr 16407  df-mvr 16408  df-mpl 16409  df-evls 16410
  Copyright terms: Public domain W3C validator