MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evth2 Unicode version

Theorem evth2 18458
Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1  |-  X  = 
U. J
bndth.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
bndth.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
bndth.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
evth.5  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
evth2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    y, K    ph, x, y   
x, X, y    x, J, y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem evth2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 bndth.2 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 bndth.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 cmptop 17122 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
61toptopon 16671 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
75, 6sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8 bndth.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
9 uniretop 18271 . . . . . . . . 9  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
102unieqi 3837 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
119, 10eqtr4i 2306 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. K
121, 11cnf 16976 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> RR )
138, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
1413feqmptd 5575 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  X  |->  ( F `
 z ) ) )
1514, 8eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |->  ( F `  z
) )  e.  ( J  Cn  K ) )
16 retopon 18272 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
172, 16eqeltri 2353 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
1817a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
19 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2019cnfldtopon 18292 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2120a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
22 0cn 8831 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
2322a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
2418, 21, 23cnmptc 17356 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  0 )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
2519tgioo2 18309 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
262, 25eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
27 ax-resscn 8794 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
2827a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
2921cnmptid 17355 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  y )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
3026, 21, 28, 29cnmpt1res 17370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  y )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
3119subcn 18370 . . . . . . . 8  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
3231a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
3318, 24, 30, 32cnmpt12f 17360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
34 df-neg 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  -u y  =  ( 0  -  y )
35 renegcl 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
3634, 35syl5eqelr 2368 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  -  y )  e.  RR )
3736adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( 0  -  y )  e.  RR )
38 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )
3937, 38fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) ) : RR --> RR )
40 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) ) : RR --> RR  ->  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  C_  RR )
4139, 40syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  C_  RR )
42 cnrest2 17014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4321, 41, 28, 42syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4433, 43mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) ) )
4526oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( K  Cn  K )  =  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
4644, 45syl6eleqr 2374 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  K ) )
47 negeq 9044 . . . . 5  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  -u y  =  -u ( F `  z ) )
4834, 47syl5eqr 2329 . . . 4  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  (
0  -  y )  =  -u ( F `  z ) )
497, 15, 18, 46, 48cnmpt11 17357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
50 evth.5 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
511, 2, 3, 49, 50evth 18457 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x ) )
52 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
5352negeqd 9046 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  -u ( F `  z )  =  -u ( F `  y ) )
54 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
)  =  ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
)
55 negex 9050 . . . . . . . 8  |-  -u ( F `  y )  e.  _V
5653, 54, 55fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
5756adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
58 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
5958negeqd 9046 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  -u ( F `  z )  =  -u ( F `  x ) )
60 negex 9050 . . . . . . . 8  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
6159, 54, 60fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
6261ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
6357, 62breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  -u ( F `
 y )  <_  -u ( F `  x
) ) )
64 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> RR  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
6513, 64sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
6665adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
67 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> RR  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y
)  e.  RR )
6813, 67sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6968adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
7066, 69lenegd 9351 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  y )  <->  -u ( F `
 y )  <_  -u ( F `  x
) ) )
7163, 70bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
7271ralbidva 2559 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
7372rexbidva 2560 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
) `  y )  <_  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  x )  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
7451, 73mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   (,)cioo 10656   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   Compccmp 17113    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  18461  evthicc  18819  ftalem3  20312  evth2f  27098  stoweidlem28  27189
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
  Copyright terms: Public domain W3C validator