MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evth2 Unicode version

Theorem evth2 18474
Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1  |-  X  = 
U. J
bndth.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
bndth.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
bndth.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
evth.5  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
evth2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    y, K    ph, x, y   
x, X, y    x, J, y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem evth2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 bndth.2 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 bndth.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 cmptop 17138 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
61toptopon 16687 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
75, 6sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8 bndth.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
9 uniretop 18287 . . . . . . . . 9  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
102unieqi 3853 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
119, 10eqtr4i 2319 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. K
121, 11cnf 16992 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> RR )
138, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
1413feqmptd 5591 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  X  |->  ( F `
 z ) ) )
1514, 8eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |->  ( F `  z
) )  e.  ( J  Cn  K ) )
16 retopon 18288 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
172, 16eqeltri 2366 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
1817a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
19 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2019cnfldtopon 18308 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2120a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
22 0cn 8847 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
2322a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
2418, 21, 23cnmptc 17372 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  0 )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
2519tgioo2 18325 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
262, 25eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
27 ax-resscn 8810 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
2827a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
2921cnmptid 17371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  y )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
3026, 21, 28, 29cnmpt1res 17386 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  y )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
3119subcn 18386 . . . . . . . 8  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
3231a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
3318, 24, 30, 32cnmpt12f 17376 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
34 df-neg 9056 . . . . . . . . . . 11  |-  -u y  =  ( 0  -  y )
35 renegcl 9126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
3634, 35syl5eqelr 2381 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  -  y )  e.  RR )
3736adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( 0  -  y )  e.  RR )
38 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )
3937, 38fmptd 5700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) ) : RR --> RR )
40 frn 5411 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) ) : RR --> RR  ->  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  C_  RR )
4139, 40syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  C_  RR )
42 cnrest2 17030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4321, 41, 28, 42syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4433, 43mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) ) )
4526oveq2i 5885 . . . . 5  |-  ( K  Cn  K )  =  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
4644, 45syl6eleqr 2387 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  K ) )
47 negeq 9060 . . . . 5  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  -u y  =  -u ( F `  z ) )
4834, 47syl5eqr 2342 . . . 4  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  (
0  -  y )  =  -u ( F `  z ) )
497, 15, 18, 46, 48cnmpt11 17373 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
50 evth.5 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
511, 2, 3, 49, 50evth 18473 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x ) )
52 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
5352negeqd 9062 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  -u ( F `  z )  =  -u ( F `  y ) )
54 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
)  =  ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
)
55 negex 9066 . . . . . . . 8  |-  -u ( F `  y )  e.  _V
5653, 54, 55fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
5756adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
58 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
5958negeqd 9062 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  -u ( F `  z )  =  -u ( F `  x ) )
60 negex 9066 . . . . . . . 8  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
6159, 54, 60fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
6261ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
6357, 62breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  -u ( F `
 y )  <_  -u ( F `  x
) ) )
64 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> RR  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
6513, 64sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
6665adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
67 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> RR  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y
)  e.  RR )
6813, 67sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6968adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
7066, 69lenegd 9367 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  y )  <->  -u ( F `
 y )  <_  -u ( F `  x
) ) )
7163, 70bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
7271ralbidva 2572 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
7372rexbidva 2573 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
) `  y )  <_  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  x )  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
7451, 73mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   (,)cioo 10672   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342   topGenctg 13358  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970   Compccmp 17129    tX ctx 17271
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  18477  evthicc  18835  ftalem3  20328  evth2f  27789  stoweidlem28  27880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
  Copyright terms: Public domain W3C validator