Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evth2 Structured version   Unicode version

Theorem evth2 18990
 Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1
bndth.2
bndth.3
bndth.4
evth.5
Assertion
Ref Expression
evth2
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem evth2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.1 . . 3
2 bndth.2 . . 3
3 bndth.3 . . 3
4 cmptop 17463 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
61toptopon 17003 . . . . 5 TopOn
75, 6sylib 190 . . . 4 TopOn
8 bndth.4 . . . . . . 7
9 uniretop 18801 . . . . . . . . 9
102unieqi 4027 . . . . . . . . 9
119, 10eqtr4i 2461 . . . . . . . 8
121, 11cnf 17315 . . . . . . 7
138, 12syl 16 . . . . . 6
1413feqmptd 5782 . . . . 5
1514, 8eqeltrrd 2513 . . . 4
16 retopon 18802 . . . . . 6 TopOn
172, 16eqeltri 2508 . . . . 5 TopOn
1817a1i 11 . . . 4 TopOn
19 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 fld fld
2019cnfldtopon 18822 . . . . . . . . 9 fld TopOn
2120a1i 11 . . . . . . . 8 fld TopOn
22 0cn 9089 . . . . . . . . 9
2322a1i 11 . . . . . . . 8
2418, 21, 23cnmptc 17699 . . . . . . 7 fld
2519tgioo2 18839 . . . . . . . . 9 fldt
262, 25eqtri 2458 . . . . . . . 8 fldt
27 ax-resscn 9052 . . . . . . . . 9
2827a1i 11 . . . . . . . 8
2921cnmptid 17698 . . . . . . . 8 fld fld
3026, 21, 28, 29cnmpt1res 17713 . . . . . . 7 fld
3119subcn 18901 . . . . . . . 8 fld fld fld
3231a1i 11 . . . . . . 7 fld fld fld
3318, 24, 30, 32cnmpt12f 17703 . . . . . 6 fld
34 df-neg 9299 . . . . . . . . . . 11
35 renegcl 9369 . . . . . . . . . . 11
3634, 35syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . 10
3736adantl 454 . . . . . . . . 9
38 eqid 2438 . . . . . . . . 9
3937, 38fmptd 5896 . . . . . . . 8
40 frn 5600 . . . . . . . 8
4139, 40syl 16 . . . . . . 7
42 cnrest2 17355 . . . . . . 7 fld TopOn fld fldt
4321, 41, 28, 42syl3anc 1185 . . . . . 6 fld fldt
4433, 43mpbid 203 . . . . 5 fldt
4526oveq2i 6095 . . . . 5 fldt
4644, 45syl6eleqr 2529 . . . 4
47 negeq 9303 . . . . 5
4834, 47syl5eqr 2484 . . . 4
497, 15, 18, 46, 48cnmpt11 17700 . . 3
50 evth.5 . . 3
511, 2, 3, 49, 50evth 18989 . 2
52 fveq2 5731 . . . . . . . . 9
5352negeqd 9305 . . . . . . . 8
54 eqid 2438 . . . . . . . 8
55 negex 9309 . . . . . . . 8
5653, 54, 55fvmpt 5809 . . . . . . 7
5756adantl 454 . . . . . 6
58 fveq2 5731 . . . . . . . . 9
5958negeqd 9305 . . . . . . . 8
60 negex 9309 . . . . . . . 8
6159, 54, 60fvmpt 5809 . . . . . . 7
6261ad2antlr 709 . . . . . 6
6357, 62breq12d 4228 . . . . 5
6413ffvelrnda 5873 . . . . . . 7
6564adantr 453 . . . . . 6
6613ffvelrnda 5873 . . . . . . 7
6766adantlr 697 . . . . . 6
6865, 67lenegd 9610 . . . . 5
6963, 68bitr4d 249 . . . 4
7069ralbidva 2723 . . 3
7170rexbidva 2724 . 2
7251, 71mpbid 203 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708   wss 3322  c0 3630  cuni 4017   class class class wbr 4215   cmpt 4269   crn 4882  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cr 8994  cc0 8995   cle 9126   cmin 9296  cneg 9297  cioo 10921   ↾t crest 13653  ctopn 13654  ctg 13670  ℂfldccnfld 16708  ctop 16963  TopOnctopon 16964   ccn 17293  ccmp 17454   ctx 17597 This theorem is referenced by:  lebnumlem3  18993  evthicc  19361  ftalem3  20862  evth2f  27675  stoweidlem28  27766 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357
 Copyright terms: Public domain W3C validator