Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evth2f Structured version   Unicode version

Theorem evth2f 27653
Description: A version of evth2 18977 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
evth2f.1  |-  F/_ x F
evth2f.2  |-  F/_ y F
evth2f.3  |-  F/_ x X
evth2f.4  |-  F/_ y X
evth2f.5  |-  X  = 
U. J
evth2f.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
evth2f.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
evth2f.8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
evth2f.9  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
evth2f  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)    J( x, y)    K( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem evth2f
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evth2f.5 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 evth2f.6 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 evth2f.7 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 evth2f.8 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5 evth2f.9 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
61, 2, 3, 4, 5evth2 18977 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b ) )
7 nfcv 2571 . . . 4  |-  F/_ a X
8 evth2f.3 . . . 4  |-  F/_ x X
9 evth2f.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
10 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ x
a
119, 10nffv 5727 . . . . . 6  |-  F/_ x
( F `  a
)
12 nfcv 2571 . . . . . 6  |-  F/_ x  <_
13 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ x
b
149, 13nffv 5727 . . . . . 6  |-  F/_ x
( F `  b
)
1511, 12, 14nfbr 4248 . . . . 5  |-  F/ x
( F `  a
)  <_  ( F `  b )
168, 15nfral 2751 . . . 4  |-  F/ x A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b )
17 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ a A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b )
18 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( F `  a )  =  ( F `  x ) )
1918breq1d 4214 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
( F `  a
)  <_  ( F `  b )  <->  ( F `  x )  <_  ( F `  b )
) )
2019ralbidv 2717 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  ( A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b )  <->  A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b )
) )
217, 8, 16, 17, 20cbvrexf 2919 . . 3  |-  ( E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b
)  <->  E. x  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b ) )
22 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ b X
23 evth2f.4 . . . . 5  |-  F/_ y X
24 evth2f.2 . . . . . . 7  |-  F/_ y F
25 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ y
x
2624, 25nffv 5727 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  x
)
27 nfcv 2571 . . . . . 6  |-  F/_ y  <_
28 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ y
b
2924, 28nffv 5727 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  b
)
3026, 27, 29nfbr 4248 . . . . 5  |-  F/ y ( F `  x
)  <_  ( F `  b )
31 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ b ( F `  x
)  <_  ( F `  y )
32 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  ( F `  b )  =  ( F `  y ) )
3332breq2d 4216 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  b )  <->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
3422, 23, 30, 31, 33cbvralf 2918 . . . 4  |-  ( A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b
)  <->  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
3534rexbii 2722 . . 3  |-  ( E. x  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b
)  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
3621, 35bitri 241 . 2  |-  ( E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b
)  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
376, 36sylib 189 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   F/_wnfc 2558    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   (/)c0 3620   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    <_ cle 9113   (,)cioo 10908   topGenctg 13657    Cn ccn 17280   Compccmp 17441
This theorem is referenced by:  stoweidlem29  27745
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344
  Copyright terms: Public domain W3C validator