Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evth2f Unicode version

Theorem evth2f 27356
Description: A version of evth2 18858 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
evth2f.1  |-  F/_ x F
evth2f.2  |-  F/_ y F
evth2f.3  |-  F/_ x X
evth2f.4  |-  F/_ y X
evth2f.5  |-  X  = 
U. J
evth2f.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
evth2f.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
evth2f.8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
evth2f.9  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
evth2f  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)    J( x, y)    K( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem evth2f
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evth2f.5 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 evth2f.6 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 evth2f.7 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 evth2f.8 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5 evth2f.9 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
61, 2, 3, 4, 5evth2 18858 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b ) )
7 nfcv 2525 . . . 4  |-  F/_ a X
8 evth2f.3 . . . 4  |-  F/_ x X
9 evth2f.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
10 nfcv 2525 . . . . . . 7  |-  F/_ x
a
119, 10nffv 5677 . . . . . 6  |-  F/_ x
( F `  a
)
12 nfcv 2525 . . . . . 6  |-  F/_ x  <_
13 nfcv 2525 . . . . . . 7  |-  F/_ x
b
149, 13nffv 5677 . . . . . 6  |-  F/_ x
( F `  b
)
1511, 12, 14nfbr 4199 . . . . 5  |-  F/ x
( F `  a
)  <_  ( F `  b )
168, 15nfral 2704 . . . 4  |-  F/ x A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b )
17 nfv 1626 . . . 4  |-  F/ a A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b )
18 fveq2 5670 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( F `  a )  =  ( F `  x ) )
1918breq1d 4165 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
( F `  a
)  <_  ( F `  b )  <->  ( F `  x )  <_  ( F `  b )
) )
2019ralbidv 2671 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  ( A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b )  <->  A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b )
) )
217, 8, 16, 17, 20cbvrexf 2872 . . 3  |-  ( E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b
)  <->  E. x  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b ) )
22 nfcv 2525 . . . . 5  |-  F/_ b X
23 evth2f.4 . . . . 5  |-  F/_ y X
24 evth2f.2 . . . . . . 7  |-  F/_ y F
25 nfcv 2525 . . . . . . 7  |-  F/_ y
x
2624, 25nffv 5677 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  x
)
27 nfcv 2525 . . . . . 6  |-  F/_ y  <_
28 nfcv 2525 . . . . . . 7  |-  F/_ y
b
2924, 28nffv 5677 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  b
)
3026, 27, 29nfbr 4199 . . . . 5  |-  F/ y ( F `  x
)  <_  ( F `  b )
31 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ b ( F `  x
)  <_  ( F `  y )
32 fveq2 5670 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  ( F `  b )  =  ( F `  y ) )
3332breq2d 4167 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  b )  <->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
3422, 23, 30, 31, 33cbvralf 2871 . . . 4  |-  ( A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b
)  <->  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
3534rexbii 2676 . . 3  |-  ( E. x  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b
)  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
3621, 35bitri 241 . 2  |-  ( E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b
)  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
376, 36sylib 189 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   F/_wnfc 2512    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652   (/)c0 3573   U.cuni 3959   class class class wbr 4155   ran crn 4821   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    <_ cle 9056   (,)cioo 10850   topGenctg 13594    Cn ccn 17212   Compccmp 17373
This theorem is referenced by:  stoweidlem29  27448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-cmp 17374  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263
  Copyright terms: Public domain W3C validator