MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evthicc Structured version   Unicode version

Theorem evthicc 19356
Description: Specialization of the Extreme Value Theorem to a closed interval of  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
evthicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
evthicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
evthicc.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
Assertion
Ref Expression
evthicc  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) A. w  e.  ( A [,] B ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    z, w, A    x, B, y    w, B, z   
x, F, y    ph, x, y    ph, w, z    w, F, z

Proof of Theorem evthicc
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4  |-  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  U. ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
2 eqid 2436 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
3 evthicc.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 evthicc.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
62, 5icccmp 18856 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
73, 4, 6syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
8 evthicc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
9 iccssre 10992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
103, 4, 9syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
11 ax-resscn 9047 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
1210, 11syl6ss 3360 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
13 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) )
14 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
15 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )
16 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
1714, 16tgioo 18827 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
1813, 14, 15, 17cncfmet 18938 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
( A [,] B
) -cn-> RR )  =  ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
1912, 11, 18sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  =  ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
202, 15resubmet 18833 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  ->  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
2110, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
2221oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
2319, 22eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
248, 23eleqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
25 retop 18795 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
26 uniretop 18796 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2726restuni 17226 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( A [,] B )  = 
U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
2825, 10, 27sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
293rexrd 9134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
304rexrd 9134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
31 evthicc.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
32 lbicc2 11013 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
34 ne0i 3634 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( A [,] B )  ->  ( A [,] B )  =/=  (/) )
3533, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =/=  (/) )
3628, 35eqnetrrd 2621 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
371, 2, 7, 24, 36evth 18984 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) A. y  e.  U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  y )  <_  ( F `  x ) )
3828raleqdv 2910 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  y
)  <_  ( F `  x ) ) )
3928, 38rexeqbidv 2917 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  <->  E. x  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) A. y  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) ( F `
 y )  <_ 
( F `  x
) ) )
4037, 39mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  x ) )
411, 2, 7, 24, 36evth2 18985 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) A. w  e.  U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  z )  <_  ( F `  w ) )
4228raleqdv 2910 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  ( A [,] B
) ( F `  z )  <_  ( F `  w )  <->  A. w  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) ) )
4328, 42rexeqbidv 2917 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B
) A. w  e.  ( A [,] B
) ( F `  z )  <_  ( F `  w )  <->  E. z  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) A. w  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) ( F `
 z )  <_ 
( F `  w
) ) )
4441, 43mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( A [,] B ) A. w  e.  ( A [,] B ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) )
4540, 44jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) A. w  e.  ( A [,] B ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   (/)c0 3628   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   ran crn 4879    |` cres 4880    o. ccom 4882   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   RR*cxr 9119    <_ cle 9121    - cmin 9291   (,)cioo 10916   [,]cicc 10919   abscabs 12039   ↾t crest 13648   topGenctg 13665   MetOpencmopn 16691   Topctop 16958    Cn ccn 17288   Compccmp 17449   -cn->ccncf 18906
This theorem is referenced by:  evthicc2  19357  cniccbdd  19358  rolle  19874  dvivthlem1  19892  itgsubst  19933
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908
  Copyright terms: Public domain W3C validator