MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evthicc Unicode version

Theorem evthicc 18872
Description: Specialization of the Extreme Value Theorem to a closed interval of  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
evthicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
evthicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
evthicc.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
Assertion
Ref Expression
evthicc  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) A. w  e.  ( A [,] B ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    z, w, A    x, B, y    w, B, z   
x, F, y    ph, x, y    ph, w, z    w, F, z

Proof of Theorem evthicc
StepHypRef Expression
1 eqid 2316 . . . 4  |-  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  U. ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
2 eqid 2316 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
3 evthicc.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 evthicc.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
62, 5icccmp 18382 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
73, 4, 6syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
8 evthicc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
9 iccssre 10778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
103, 4, 9syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
11 ax-resscn 8839 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
1210, 11syl6ss 3225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
13 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) )
14 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
15 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )
16 eqid 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
1714, 16tgioo 18354 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
1813, 14, 15, 17cncfmet 18464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
( A [,] B
) -cn-> RR )  =  ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
1912, 11, 18sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  =  ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
202, 15resubmet 18360 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  ->  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
2110, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
2221oveq1d 5915 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
2319, 22eqtrd 2348 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
248, 23eleqtrd 2392 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
25 retop 18322 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
26 uniretop 18323 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2726restuni 16949 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( A [,] B )  = 
U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
2825, 10, 27sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
293rexrd 8926 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
304rexrd 8926 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
31 evthicc.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
32 lbicc2 10799 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
34 ne0i 3495 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( A [,] B )  ->  ( A [,] B )  =/=  (/) )
3533, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =/=  (/) )
3628, 35eqnetrrd 2499 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
371, 2, 7, 24, 36evth 18510 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) A. y  e.  U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  y )  <_  ( F `  x ) )
3828raleqdv 2776 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  y
)  <_  ( F `  x ) ) )
3928, 38rexeqbidv 2783 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  <->  E. x  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) A. y  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) ( F `
 y )  <_ 
( F `  x
) ) )
4037, 39mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  x ) )
411, 2, 7, 24, 36evth2 18511 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) A. w  e.  U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  z )  <_  ( F `  w ) )
4228raleqdv 2776 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  ( A [,] B
) ( F `  z )  <_  ( F `  w )  <->  A. w  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) ) )
4328, 42rexeqbidv 2783 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B
) A. w  e.  ( A [,] B
) ( F `  z )  <_  ( F `  w )  <->  E. z  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) A. w  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) ( F `
 z )  <_ 
( F `  w
) ) )
4441, 43mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( A [,] B ) A. w  e.  ( A [,] B ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) )
4540, 44jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) A. w  e.  ( A [,] B ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578    C_ wss 3186   (/)c0 3489   U.cuni 3864   class class class wbr 4060    X. cxp 4724   ran crn 4727    |` cres 4728    o. ccom 4730   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781   RR*cxr 8911    <_ cle 8913    - cmin 9082   (,)cioo 10703   [,]cicc 10706   abscabs 11766   ↾t crest 13374   topGenctg 13391   MetOpencmopn 16423   Topctop 16687    Cn ccn 17010   Compccmp 17169   -cn->ccncf 18432
This theorem is referenced by:  evthicc2  18873  cniccbdd  18874  rolle  19390  dvivthlem1  19408  itgsubst  19449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-mulg 14541  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-cmp 17170  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939  df-cncf 18434
  Copyright terms: Public domain W3C validator