MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-dif Unicode version

Theorem ex-dif 20826
Description: Example for df-dif 3168. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-dif  |-  ( { 1 ,  3 } 
\  { 1 ,  8 } )  =  { 3 }

Proof of Theorem ex-dif
StepHypRef Expression
1 df-pr 3660 . . 3  |-  { 1 ,  3 }  =  ( { 1 }  u.  { 3 } )
21difeq1i 3303 . 2  |-  ( { 1 ,  3 } 
\  { 1 ,  8 } )  =  ( ( { 1 }  u.  { 3 } )  \  {
1 ,  8 } )
3 difundir 3435 . 2  |-  ( ( { 1 }  u.  { 3 } )  \  { 1 ,  8 } )  =  ( ( { 1 } 
\  { 1 ,  8 } )  u.  ( { 3 } 
\  { 1 ,  8 } ) )
4 snsspr1 3780 . . . . 5  |-  { 1 }  C_  { 1 ,  8 }
5 ssdif0 3526 . . . . 5  |-  ( { 1 }  C_  { 1 ,  8 }  <->  ( {
1 }  \  {
1 ,  8 } )  =  (/) )
64, 5mpbi 199 . . . 4  |-  ( { 1 }  \  {
1 ,  8 } )  =  (/)
7 incom 3374 . . . . . . 7  |-  ( { 3 }  i^i  {
1 ,  8 } )  =  ( { 1 ,  8 }  i^i  { 3 } )
8 1re 8853 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
9 1lt3 9904 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
108, 9gtneii 8946 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  1
11 3re 9833 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
12 3lt8 9927 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  8
1311, 12ltneii 8947 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  8
1410, 13nelpri 3674 . . . . . . . 8  |-  -.  3  e.  { 1 ,  8 }
15 disjsn 3706 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 1 ,  8 }  i^i  { 3 } )  =  (/)  <->  -.  3  e.  { 1 ,  8 } )
1614, 15mpbir 200 . . . . . . 7  |-  ( { 1 ,  8 }  i^i  { 3 } )  =  (/)
177, 16eqtri 2316 . . . . . 6  |-  ( { 3 }  i^i  {
1 ,  8 } )  =  (/)
18 disj3 3512 . . . . . 6  |-  ( ( { 3 }  i^i  { 1 ,  8 } )  =  (/)  <->  { 3 }  =  ( {
3 }  \  {
1 ,  8 } ) )
1917, 18mpbi 199 . . . . 5  |-  { 3 }  =  ( { 3 }  \  {
1 ,  8 } )
2019eqcomi 2300 . . . 4  |-  ( { 3 }  \  {
1 ,  8 } )  =  { 3 }
216, 20uneq12i 3340 . . 3  |-  ( ( { 1 }  \  { 1 ,  8 } )  u.  ( { 3 }  \  { 1 ,  8 } ) )  =  ( (/)  u.  { 3 } )
22 uncom 3332 . . 3  |-  ( (/)  u. 
{ 3 } )  =  ( { 3 }  u.  (/) )
23 un0 3492 . . 3  |-  ( { 3 }  u.  (/) )  =  { 3 }
2421, 22, 233eqtri 2320 . 2  |-  ( ( { 1 }  \  { 1 ,  8 } )  u.  ( { 3 }  \  { 1 ,  8 } ) )  =  { 3 }
252, 3, 243eqtri 2320 1  |-  ( { 1 ,  3 } 
\  { 1 ,  8 } )  =  { 3 }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   {cpr 3654   1c1 8754   3c3 9812   8c8 9817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826
  Copyright terms: Public domain W3C validator