MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-dif Structured version   Unicode version

Theorem ex-dif 21731
Description: Example for df-dif 3323. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-dif  |-  ( { 1 ,  3 } 
\  { 1 ,  8 } )  =  { 3 }

Proof of Theorem ex-dif
StepHypRef Expression
1 df-pr 3821 . . 3  |-  { 1 ,  3 }  =  ( { 1 }  u.  { 3 } )
21difeq1i 3461 . 2  |-  ( { 1 ,  3 } 
\  { 1 ,  8 } )  =  ( ( { 1 }  u.  { 3 } )  \  {
1 ,  8 } )
3 difundir 3594 . 2  |-  ( ( { 1 }  u.  { 3 } )  \  { 1 ,  8 } )  =  ( ( { 1 } 
\  { 1 ,  8 } )  u.  ( { 3 } 
\  { 1 ,  8 } ) )
4 snsspr1 3947 . . . . 5  |-  { 1 }  C_  { 1 ,  8 }
5 ssdif0 3686 . . . . 5  |-  ( { 1 }  C_  { 1 ,  8 }  <->  ( {
1 }  \  {
1 ,  8 } )  =  (/) )
64, 5mpbi 200 . . . 4  |-  ( { 1 }  \  {
1 ,  8 } )  =  (/)
7 incom 3533 . . . . . . 7  |-  ( { 3 }  i^i  {
1 ,  8 } )  =  ( { 1 ,  8 }  i^i  { 3 } )
8 1re 9090 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
9 1lt3 10144 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
108, 9gtneii 9185 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  1
11 3re 10071 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
12 3lt8 10167 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  8
1311, 12ltneii 9186 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  8
1410, 13nelpri 3835 . . . . . . . 8  |-  -.  3  e.  { 1 ,  8 }
15 disjsn 3868 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 1 ,  8 }  i^i  { 3 } )  =  (/)  <->  -.  3  e.  { 1 ,  8 } )
1614, 15mpbir 201 . . . . . . 7  |-  ( { 1 ,  8 }  i^i  { 3 } )  =  (/)
177, 16eqtri 2456 . . . . . 6  |-  ( { 3 }  i^i  {
1 ,  8 } )  =  (/)
18 disj3 3672 . . . . . 6  |-  ( ( { 3 }  i^i  { 1 ,  8 } )  =  (/)  <->  { 3 }  =  ( {
3 }  \  {
1 ,  8 } ) )
1917, 18mpbi 200 . . . . 5  |-  { 3 }  =  ( { 3 }  \  {
1 ,  8 } )
2019eqcomi 2440 . . . 4  |-  ( { 3 }  \  {
1 ,  8 } )  =  { 3 }
216, 20uneq12i 3499 . . 3  |-  ( ( { 1 }  \  { 1 ,  8 } )  u.  ( { 3 }  \  { 1 ,  8 } ) )  =  ( (/)  u.  { 3 } )
22 uncom 3491 . . 3  |-  ( (/)  u. 
{ 3 } )  =  ( { 3 }  u.  (/) )
23 un0 3652 . . 3  |-  ( { 3 }  u.  (/) )  =  { 3 }
2421, 22, 233eqtri 2460 . 2  |-  ( ( { 1 }  \  { 1 ,  8 } )  u.  ( { 3 }  \  { 1 ,  8 } ) )  =  { 3 }
252, 3, 243eqtri 2460 1  |-  ( { 1 ,  3 } 
\  { 1 ,  8 } )  =  { 3 }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   {cpr 3815   1c1 8991   3c3 10050   8c8 10055
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064
  Copyright terms: Public domain W3C validator