MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Unicode version

Theorem ex-fl 21756
Description: Example for df-fl 11203. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  /\  ( |_ `  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2 )

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 9091 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 3re 10072 . . . . 5  |-  3  e.  RR
32rehalfcli 10217 . . . 4  |-  ( 3  /  2 )  e.  RR
4 2cn 10071 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
54mulid2i 9094 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6 2lt3 10144 . . . . . 6  |-  2  <  3
75, 6eqbrtri 4232 . . . . 5  |-  ( 1  x.  2 )  <  3
8 2pos 10083 . . . . . 6  |-  0  <  2
9 2re 10070 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
101, 2, 9ltmuldivi 9932 . . . . . 6  |-  ( 0  <  2  ->  (
( 1  x.  2 )  <  3  <->  1  <  ( 3  / 
2 ) ) )
118, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  <  3  <->  1  <  ( 3  /  2 ) )
127, 11mpbi 201 . . . 4  |-  1  <  ( 3  /  2
)
131, 3, 12ltleii 9197 . . 3  |-  1  <_  ( 3  /  2
)
14 3lt4 10146 . . . . . 6  |-  3  <  4
15 2t2e4 10128 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1614, 15breqtrri 4238 . . . . 5  |-  3  <  ( 2  x.  2 )
179, 8pm3.2i 443 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
18 ltdivmul 9883 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  3  <  (
2  x.  2 ) ) )
192, 9, 17, 18mp3an 1280 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  3  <  ( 2  x.  2 ) )
2016, 19mpbir 202 . . . 4  |-  ( 3  /  2 )  <  2
21 df-2 10059 . . . 4  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2220, 21breqtri 4236 . . 3  |-  ( 3  /  2 )  < 
( 1  +  1 )
23 1z 10312 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
24 flbi 11224 . . . 4  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( 3  /  2
) )  =  1  <-> 
( 1  <_  (
3  /  2 )  /\  ( 3  / 
2 )  <  (
1  +  1 ) ) ) )
253, 23, 24mp2an 655 . . 3  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  <->  ( 1  <_  ( 3  / 
2 )  /\  (
3  /  2 )  <  ( 1  +  1 ) ) )
2613, 22, 25mpbir2an 888 . 2  |-  ( |_
`  ( 3  / 
2 ) )  =  1
279renegcli 9363 . . . 4  |-  -u 2  e.  RR
283renegcli 9363 . . . 4  |-  -u (
3  /  2 )  e.  RR
293, 9ltnegi 9572 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  -u 2  <  -u ( 3  /  2
) )
3020, 29mpbi 201 . . . 4  |-  -u 2  <  -u ( 3  / 
2 )
3127, 28, 30ltleii 9197 . . 3  |-  -u 2  <_ 
-u ( 3  / 
2 )
324negcli 9369 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  CC
33 ax-1cn 9049 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
34 negdi2 9360 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( -u -u 2  -  1 ) )
3532, 33, 34mp2an 655 . . . . . 6  |-  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( -u -u 2  -  1 )
364negnegi 9371 . . . . . . 7  |-  -u -u 2  =  2
3736oveq1i 6092 . . . . . 6  |-  ( -u -u 2  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
3835, 37eqtri 2457 . . . . 5  |-  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( 2  -  1 )
39 2m1e1 10096 . . . . . 6  |-  ( 2  -  1 )  =  1
4039, 12eqbrtri 4232 . . . . 5  |-  ( 2  -  1 )  < 
( 3  /  2
)
4138, 40eqbrtri 4232 . . . 4  |-  -u ( -u 2  +  1 )  <  ( 3  / 
2 )
4227, 1readdcli 9104 . . . . 5  |-  ( -u
2  +  1 )  e.  RR
4342, 3ltnegcon1i 9579 . . . 4  |-  ( -u ( -u 2  +  1 )  <  ( 3  /  2 )  <->  -u ( 3  /  2 )  < 
( -u 2  +  1 ) )
4441, 43mpbi 201 . . 3  |-  -u (
3  /  2 )  <  ( -u 2  +  1 )
45 2z 10313 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
46 znegcl 10314 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
4745, 46ax-mp 8 . . . 4  |-  -u 2  e.  ZZ
48 flbi 11224 . . . 4  |-  ( (
-u ( 3  / 
2 )  e.  RR  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2  <->  ( -u 2  <_ 
-u ( 3  / 
2 )  /\  -u (
3  /  2 )  <  ( -u 2  +  1 ) ) ) )
4928, 47, 48mp2an 655 . . 3  |-  ( ( |_ `  -u (
3  /  2 ) )  =  -u 2  <->  (
-u 2  <_  -u (
3  /  2 )  /\  -u ( 3  / 
2 )  <  ( -u 2  +  1 ) ) )
5031, 44, 49mpbir2an 888 . 2  |-  ( |_
`  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2
5126, 50pm3.2i 443 1  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  /\  ( |_ `  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292   -ucneg 9293    / cdiv 9678   2c2 10050   3c3 10051   4c4 10052   ZZcz 10283   |_cfl 11202
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fl 11203
  Copyright terms: Public domain W3C validator