MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-in Structured version   Unicode version

Theorem ex-in 21735
Description: Example for df-in 3329. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-in  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 ,  8 } )  =  { 1 }

Proof of Theorem ex-in
StepHypRef Expression
1 df-pr 3823 . . 3  |-  { 1 ,  8 }  =  ( { 1 }  u.  { 8 } )
21ineq2i 3541 . 2  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 ,  8 } )  =  ( { 1 ,  3 }  i^i  ( { 1 }  u.  { 8 } ) )
3 indi 3589 . . 3  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  ( { 1 }  u.  { 8 } ) )  =  ( ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  u.  ( { 1 ,  3 }  i^i  {
8 } ) )
4 snsspr1 3949 . . . . . 6  |-  { 1 }  C_  { 1 ,  3 }
5 dfss1 3547 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  C_  { 1 ,  3 }  <->  ( {
1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  =  { 1 } )
64, 5mpbi 201 . . . . 5  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  =  { 1 }
7 1re 9092 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
8 1lt8 10171 . . . . . . . 8  |-  1  <  8
97, 8gtneii 9187 . . . . . . 7  |-  8  =/=  1
10 3re 10073 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
11 3lt8 10169 . . . . . . . 8  |-  3  <  8
1210, 11gtneii 9187 . . . . . . 7  |-  8  =/=  3
139, 12nelpri 3837 . . . . . 6  |-  -.  8  e.  { 1 ,  3 }
14 disjsn 3870 . . . . . 6  |-  ( ( { 1 ,  3 }  i^i  { 8 } )  =  (/)  <->  -.  8  e.  { 1 ,  3 } )
1513, 14mpbir 202 . . . . 5  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 8 } )  =  (/)
166, 15uneq12i 3501 . . . 4  |-  ( ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  u.  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 8 } ) )  =  ( { 1 }  u.  (/) )
17 un0 3654 . . . 4  |-  ( { 1 }  u.  (/) )  =  { 1 }
1816, 17eqtri 2458 . . 3  |-  ( ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  u.  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 8 } ) )  =  { 1 }
193, 18eqtri 2458 . 2  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  ( { 1 }  u.  { 8 } ) )  =  { 1 }
202, 19eqtri 2458 1  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 ,  8 } )  =  { 1 }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   {cpr 3817   1c1 8993   3c3 10052   8c8 10057
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066
  Copyright terms: Public domain W3C validator