MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-pss Unicode version

Theorem ex-pss 20831
Description: Example for df-pss 3181. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-pss  |-  { 1 ,  2 }  C.  { 1 ,  2 ,  3 }

Proof of Theorem ex-pss
StepHypRef Expression
1 ex-ss 20830 . 2  |-  { 1 ,  2 }  C_  { 1 ,  2 ,  3 }
2 3re 9833 . . . . . 6  |-  3  e.  RR
32elexi 2810 . . . . 5  |-  3  e.  _V
43tpid3 3755 . . . 4  |-  3  e.  { 1 ,  2 ,  3 }
5 1re 8853 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6 1lt3 9904 . . . . . 6  |-  1  <  3
75, 6gtneii 8946 . . . . 5  |-  3  =/=  1
8 2re 9831 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
9 2lt3 9903 . . . . . 6  |-  2  <  3
108, 9gtneii 8946 . . . . 5  |-  3  =/=  2
117, 10nelpri 3674 . . . 4  |-  -.  3  e.  { 1 ,  2 }
12 nelne1 2548 . . . 4  |-  ( ( 3  e.  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  -.  3  e.  { 1 ,  2 } )  ->  { 1 ,  2 ,  3 }  =/=  { 1 ,  2 } )
134, 11, 12mp2an 653 . . 3  |-  { 1 ,  2 ,  3 }  =/=  { 1 ,  2 }
1413necomi 2541 . 2  |-  { 1 ,  2 }  =/=  { 1 ,  2 ,  3 }
15 df-pss 3181 . 2  |-  ( { 1 ,  2 } 
C.  { 1 ,  2 ,  3 }  <-> 
( { 1 ,  2 }  C_  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  { 1 ,  2 }  =/=  { 1 ,  2 ,  3 } ) )
161, 14, 15mpbir2an 886 1  |-  { 1 ,  2 }  C.  { 1 ,  2 ,  3 }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1696    =/= wne 2459    C_ wss 3165    C. wpss 3166   {cpr 3654   {ctp 3655   RRcr 8752   1c1 8754   2c2 9811   3c3 9812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-2 9820  df-3 9821
  Copyright terms: Public domain W3C validator