MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-pw Unicode version

Theorem ex-pw 20816
Description: Example for df-pw 3627. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
ex-pw  |-  ( A  =  { 3 ,  5 ,  7 }  ->  ~P A  =  ( ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } ,  { 7 } } )  u.  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } } ) ) )

Proof of Theorem ex-pw
StepHypRef Expression
1 pweq 3628 . 2  |-  ( A  =  { 3 ,  5 ,  7 }  ->  ~P A  =  ~P { 3 ,  5 ,  7 } )
2 qdass 3726 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { 3 } }  u.  { {
5 } ,  {
3 ,  5 } } )  =  ( { (/) ,  { 3 } ,  { 5 } }  u.  { { 3 ,  5 } } )
3 qdassr 3727 . . . 4  |-  ( { { 7 } ,  { 3 ,  7 } }  u.  { { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } } )  =  ( { { 7 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
)
42, 3uneq12i 3327 . . 3  |-  ( ( { (/) ,  { 3 } }  u.  { { 5 } ,  { 3 ,  5 } } )  u.  ( { { 7 } ,  { 3 ,  7 } }  u.  { { 5 ,  7 } ,  {
3 ,  5 ,  7 } } ) )  =  ( ( { (/) ,  { 3 } ,  { 5 } }  u.  { { 3 ,  5 } } )  u.  ( { { 7 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
) )
5 pwtp 3824 . . 3  |-  ~P {
3 ,  5 ,  7 }  =  ( ( { (/) ,  {
3 } }  u.  { { 5 } ,  { 3 ,  5 } } )  u.  ( { { 7 } ,  { 3 ,  7 } }  u.  { { 5 ,  7 } ,  {
3 ,  5 ,  7 } } ) )
6 df-tp 3648 . . . . . . . 8  |-  { {
3 } ,  {
5 } ,  {
7 } }  =  ( { { 3 } ,  { 5 } }  u.  { {
7 } } )
76uneq2i 3326 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  u.  { {
3 } ,  {
5 } ,  {
7 } } )  =  ( { (/) }  u.  ( { {
3 } ,  {
5 } }  u.  { { 7 } }
) )
8 unass 3332 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } }
)  u.  { {
7 } } )  =  ( { (/) }  u.  ( { {
3 } ,  {
5 } }  u.  { { 7 } }
) )
97, 8eqtr4i 2306 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  u.  { {
3 } ,  {
5 } ,  {
7 } } )  =  ( ( {
(/) }  u.  { {
3 } ,  {
5 } } )  u.  { { 7 } } )
10 tpass 3725 . . . . . . 7  |-  { (/) ,  { 3 } ,  { 5 } }  =  ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } } )
1110uneq1i 3325 . . . . . 6  |-  ( {
(/) ,  { 3 } ,  { 5 } }  u.  { {
7 } } )  =  ( ( {
(/) }  u.  { {
3 } ,  {
5 } } )  u.  { { 7 } } )
129, 11eqtr4i 2306 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  u.  { {
3 } ,  {
5 } ,  {
7 } } )  =  ( { (/) ,  { 3 } ,  { 5 } }  u.  { { 7 } } )
13 unass 3332 . . . . . 6  |-  ( ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }
)  u.  { {
3 ,  5 ,  7 } } )  =  ( { {
3 ,  5 } }  u.  ( { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } } ) )
14 tpass 3725 . . . . . . 7  |-  { {
3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  {
5 ,  7 } }  =  ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }
)
1514uneq1i 3325 . . . . . 6  |-  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } }
)  =  ( ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }
)  u.  { {
3 ,  5 ,  7 } } )
16 df-tp 3648 . . . . . . 7  |-  { {
3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  {
3 ,  5 ,  7 } }  =  ( { { 3 ,  7 } ,  {
5 ,  7 } }  u.  { {
3 ,  5 ,  7 } } )
1716uneq2i 3326 . . . . . 6  |-  ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
)  =  ( { { 3 ,  5 } }  u.  ( { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } } ) )
1813, 15, 173eqtr4i 2313 . . . . 5  |-  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } }
)  =  ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
)
1912, 18uneq12i 3327 . . . 4  |-  ( ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } ,  { 7 } }
)  u.  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } }
) )  =  ( ( { (/) ,  {
3 } ,  {
5 } }  u.  { { 7 } }
)  u.  ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
) )
20 un4 3335 . . . 4  |-  ( ( { (/) ,  { 3 } ,  { 5 } }  u.  { { 3 ,  5 } } )  u.  ( { { 7 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
) )  =  ( ( { (/) ,  {
3 } ,  {
5 } }  u.  { { 7 } }
)  u.  ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
) )
2119, 20eqtr4i 2306 . . 3  |-  ( ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } ,  { 7 } }
)  u.  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } }
) )  =  ( ( { (/) ,  {
3 } ,  {
5 } }  u.  { { 3 ,  5 } } )  u.  ( { { 7 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
) )
224, 5, 213eqtr4i 2313 . 2  |-  ~P {
3 ,  5 ,  7 }  =  ( ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } ,  { 7 } }
)  u.  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } }
) )
231, 22syl6eq 2331 1  |-  ( A  =  { 3 ,  5 ,  7 }  ->  ~P A  =  ( ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } ,  { 7 } } )  u.  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    u. cun 3150   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   {cpr 3641   {ctp 3642   3c3 9796   5c5 9798   7c7 9800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648
  Copyright terms: Public domain W3C validator