MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-res Unicode version

Theorem ex-res 20844
Description: Example for df-res 4717. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-res  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( F  |`  B )  =  { <. 2 ,  6
>. } )

Proof of Theorem ex-res
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  F  =  { <. 2 ,  6
>. ,  <. 3 ,  9 >. } )
2 df-pr 3660 . . . . 5  |-  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  =  ( {
<. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )
31, 2syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  F  =  ( { <. 2 ,  6 >. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } ) )
43reseq1d 4970 . . 3  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( F  |`  B )  =  ( ( { <. 2 ,  6 >. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )  |`  B ) )
5 resundir 4986 . . 3  |-  ( ( { <. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )  |`  B )  =  ( ( {
<. 2 ,  6
>. }  |`  B )  u.  ( { <. 3 ,  9 >. }  |`  B ) )
64, 5syl6eq 2344 . 2  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( F  |`  B )  =  ( ( { <. 2 ,  6 >. }  |`  B )  u.  ( { <. 3 ,  9
>. }  |`  B )
) )
7 2re 9831 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
87elexi 2810 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
9 6re 9838 . . . . . . 7  |-  6  e.  RR
109elexi 2810 . . . . . 6  |-  6  e.  _V
118, 10relsnop 4807 . . . . 5  |-  Rel  { <. 2 ,  6 >. }
12 dmsnopss 5161 . . . . . 6  |-  dom  { <. 2 ,  6 >. }  C_  { 2 }
13 snsspr2 3781 . . . . . . 7  |-  { 2 }  C_  { 1 ,  2 }
14 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  B  =  { 1 ,  2 } )
1513, 14syl5sseqr 3240 . . . . . 6  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  { 2 }  C_  B )
1612, 15syl5ss 3203 . . . . 5  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  dom  {
<. 2 ,  6
>. }  C_  B )
17 relssres 5008 . . . . 5  |-  ( ( Rel  { <. 2 ,  6 >. }  /\  dom  { <. 2 ,  6
>. }  C_  B )  ->  ( { <. 2 ,  6 >. }  |`  B )  =  { <. 2 ,  6 >. } )
1811, 16, 17sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 2 ,  6
>. }  |`  B )  =  { <. 2 ,  6
>. } )
19 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
20 1lt3 9904 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
2119, 20gtneii 8946 . . . . . . 7  |-  3  =/=  1
22 2lt3 9903 . . . . . . . 8  |-  2  <  3
237, 22gtneii 8946 . . . . . . 7  |-  3  =/=  2
2421, 23nelpri 3674 . . . . . 6  |-  -.  3  e.  { 1 ,  2 }
2514eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  (
3  e.  B  <->  3  e.  { 1 ,  2 } ) )
2624, 25mtbiri 294 . . . . 5  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  -.  3  e.  B )
27 ressnop0 5719 . . . . 5  |-  ( -.  3  e.  B  -> 
( { <. 3 ,  9 >. }  |`  B )  =  (/) )
2826, 27syl 15 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 3 ,  9
>. }  |`  B )  =  (/) )
2918, 28uneq12d 3343 . . 3  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  (
( { <. 2 ,  6 >. }  |`  B )  u.  ( { <. 3 ,  9 >. }  |`  B ) )  =  ( { <. 2 ,  6 >. }  u.  (/) ) )
30 un0 3492 . . 3  |-  ( {
<. 2 ,  6
>. }  u.  (/) )  =  { <. 2 ,  6
>. }
3129, 30syl6eq 2344 . 2  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  (
( { <. 2 ,  6 >. }  |`  B )  u.  ( { <. 3 ,  9 >. }  |`  B ) )  =  { <. 2 ,  6
>. } )
326, 31eqtrd 2328 1  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( F  |`  B )  =  { <. 2 ,  6
>. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   {cpr 3654   <.cop 3656   dom cdm 4705    |` cres 4707   Rel wrel 4710   RRcr 8752   1c1 8754   2c2 9811   3c3 9812   6c6 9815   9c9 9818
This theorem is referenced by:  ex-ima  20845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824
  Copyright terms: Public domain W3C validator