MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-rn Unicode version

Theorem ex-rn 20827
Description: Example for df-rn 4700. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-rn  |-  ( F  =  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9 >. }  ->  ran  F  =  { 6 ,  9 } )

Proof of Theorem ex-rn
StepHypRef Expression
1 rneq 4904 . 2  |-  ( F  =  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9 >. }  ->  ran  F  =  ran  { <. 2 ,  6
>. ,  <. 3 ,  9 >. } )
2 df-pr 3647 . . . 4  |-  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  =  ( {
<. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )
32rneqi 4905 . . 3  |-  ran  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9
>. }  =  ran  ( { <. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )
4 rnun 5089 . . 3  |-  ran  ( { <. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )  =  ( ran 
{ <. 2 ,  6
>. }  u.  ran  { <. 3 ,  9 >. } )
5 2nn 9877 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
65elexi 2797 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
76rnsnop 5153 . . . . 5  |-  ran  { <. 2 ,  6 >. }  =  { 6 }
8 3nn 9878 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
98elexi 2797 . . . . . 6  |-  3  e.  _V
109rnsnop 5153 . . . . 5  |-  ran  { <. 3 ,  9 >. }  =  { 9 }
117, 10uneq12i 3327 . . . 4  |-  ( ran 
{ <. 2 ,  6
>. }  u.  ran  { <. 3 ,  9 >. } )  =  ( { 6 }  u.  { 9 } )
12 df-pr 3647 . . . 4  |-  { 6 ,  9 }  =  ( { 6 }  u.  { 9 } )
1311, 12eqtr4i 2306 . . 3  |-  ( ran 
{ <. 2 ,  6
>. }  u.  ran  { <. 3 ,  9 >. } )  =  {
6 ,  9 }
143, 4, 133eqtri 2307 . 2  |-  ran  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9
>. }  =  { 6 ,  9 }
151, 14syl6eq 2331 1  |-  ( F  =  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9 >. }  ->  ran  F  =  { 6 ,  9 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    u. cun 3150   {csn 3640   {cpr 3641   <.cop 3643   ran crn 4690   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   6c6 9799   9c9 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-1cn 8795
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805
  Copyright terms: Public domain W3C validator