MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-rn Unicode version

Theorem ex-rn 21705
Description: Example for df-rn 4852. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-rn  |-  ( F  =  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9 >. }  ->  ran  F  =  { 6 ,  9 } )

Proof of Theorem ex-rn
StepHypRef Expression
1 rneq 5058 . 2  |-  ( F  =  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9 >. }  ->  ran  F  =  ran  { <. 2 ,  6
>. ,  <. 3 ,  9 >. } )
2 df-pr 3785 . . . 4  |-  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  =  ( {
<. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )
32rneqi 5059 . . 3  |-  ran  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9
>. }  =  ran  ( { <. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )
4 rnun 5243 . . 3  |-  ran  ( { <. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )  =  ( ran 
{ <. 2 ,  6
>. }  u.  ran  { <. 3 ,  9 >. } )
5 2nn 10093 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
65elexi 2929 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
76rnsnop 5313 . . . . 5  |-  ran  { <. 2 ,  6 >. }  =  { 6 }
8 3nn 10094 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
98elexi 2929 . . . . . 6  |-  3  e.  _V
109rnsnop 5313 . . . . 5  |-  ran  { <. 3 ,  9 >. }  =  { 9 }
117, 10uneq12i 3463 . . . 4  |-  ( ran 
{ <. 2 ,  6
>. }  u.  ran  { <. 3 ,  9 >. } )  =  ( { 6 }  u.  { 9 } )
12 df-pr 3785 . . . 4  |-  { 6 ,  9 }  =  ( { 6 }  u.  { 9 } )
1311, 12eqtr4i 2431 . . 3  |-  ( ran 
{ <. 2 ,  6
>. }  u.  ran  { <. 3 ,  9 >. } )  =  {
6 ,  9 }
143, 4, 133eqtri 2432 . 2  |-  ran  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9
>. }  =  { 6 ,  9 }
151, 14syl6eq 2456 1  |-  ( F  =  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9 >. }  ->  ran  F  =  { 6 ,  9 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    u. cun 3282   {csn 3778   {cpr 3779   <.cop 3781   ran crn 4842   NNcn 9960   2c2 10009   3c3 10010   6c6 10013   9c9 10016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-1cn 9008
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019
  Copyright terms: Public domain W3C validator