MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-rn Structured version   Unicode version

Theorem ex-rn 21779
Description: Example for df-rn 4918. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-rn  |-  ( F  =  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9 >. }  ->  ran  F  =  { 6 ,  9 } )

Proof of Theorem ex-rn
StepHypRef Expression
1 rneq 5124 . 2  |-  ( F  =  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9 >. }  ->  ran  F  =  ran  { <. 2 ,  6
>. ,  <. 3 ,  9 >. } )
2 df-pr 3845 . . . 4  |-  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  =  ( {
<. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )
32rneqi 5125 . . 3  |-  ran  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9
>. }  =  ran  ( { <. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )
4 rnun 5309 . . 3  |-  ran  ( { <. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )  =  ( ran 
{ <. 2 ,  6
>. }  u.  ran  { <. 3 ,  9 >. } )
5 2nn 10164 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
65elexi 2971 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
76rnsnop 5379 . . . . 5  |-  ran  { <. 2 ,  6 >. }  =  { 6 }
8 3nn 10165 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
98elexi 2971 . . . . . 6  |-  3  e.  _V
109rnsnop 5379 . . . . 5  |-  ran  { <. 3 ,  9 >. }  =  { 9 }
117, 10uneq12i 3485 . . . 4  |-  ( ran 
{ <. 2 ,  6
>. }  u.  ran  { <. 3 ,  9 >. } )  =  ( { 6 }  u.  { 9 } )
12 df-pr 3845 . . . 4  |-  { 6 ,  9 }  =  ( { 6 }  u.  { 9 } )
1311, 12eqtr4i 2465 . . 3  |-  ( ran 
{ <. 2 ,  6
>. }  u.  ran  { <. 3 ,  9 >. } )  =  {
6 ,  9 }
143, 4, 133eqtri 2466 . 2  |-  ran  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9
>. }  =  { 6 ,  9 }
151, 14syl6eq 2490 1  |-  ( F  =  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9 >. }  ->  ran  F  =  { 6 ,  9 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    u. cun 3304   {csn 3838   {cpr 3839   <.cop 3841   ran crn 4908   NNcn 10031   2c2 10080   3c3 10081   6c6 10084   9c9 10087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-1cn 9079
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090
  Copyright terms: Public domain W3C validator