MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-xp Structured version   Unicode version

Theorem ex-xp 21744
Description: Example for df-xp 4884. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-xp  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )

Proof of Theorem ex-xp
StepHypRef Expression
1 df-pr 3821 . . 3  |-  { 1 ,  5 }  =  ( { 1 }  u.  { 5 } )
2 df-pr 3821 . . 3  |-  { 2 ,  7 }  =  ( { 2 }  u.  { 7 } )
31, 2xpeq12i 4900 . 2  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( ( { 1 }  u.  { 5 } )  X.  ( { 2 }  u.  { 7 } ) )
4 xpun 4935 . 2  |-  ( ( { 1 }  u.  { 5 } )  X.  ( { 2 }  u.  { 7 } ) )  =  ( ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  u.  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) ) )
5 1ex 9086 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
6 2nn 10133 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
76elexi 2965 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
85, 7xpsn 5910 . . . . 5  |-  ( { 1 }  X.  {
2 } )  =  { <. 1 ,  2
>. }
9 7nn 10138 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN
109elexi 2965 . . . . . 6  |-  7  e.  _V
115, 10xpsn 5910 . . . . 5  |-  ( { 1 }  X.  {
7 } )  =  { <. 1 ,  7
>. }
128, 11uneq12i 3499 . . . 4  |-  ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  =  ( { <. 1 ,  2 >. }  u.  {
<. 1 ,  7
>. } )
13 df-pr 3821 . . . 4  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 1 ,  7
>. }  =  ( {
<. 1 ,  2
>. }  u.  { <. 1 ,  7 >. } )
1412, 13eqtr4i 2459 . . 3  |-  ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 1 ,  7 >. }
15 5nn 10136 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
1615elexi 2965 . . . . . 6  |-  5  e.  _V
1716, 7xpsn 5910 . . . . 5  |-  ( { 5 }  X.  {
2 } )  =  { <. 5 ,  2
>. }
1816, 10xpsn 5910 . . . . 5  |-  ( { 5 }  X.  {
7 } )  =  { <. 5 ,  7
>. }
1917, 18uneq12i 3499 . . . 4  |-  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) )  =  ( { <. 5 ,  2 >. }  u.  {
<. 5 ,  7
>. } )
20 df-pr 3821 . . . 4  |-  { <. 5 ,  2 >. , 
<. 5 ,  7
>. }  =  ( {
<. 5 ,  2
>. }  u.  { <. 5 ,  7 >. } )
2119, 20eqtr4i 2459 . . 3  |-  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) )  =  { <. 5 ,  2
>. ,  <. 5 ,  7 >. }
2214, 21uneq12i 3499 . 2  |-  ( ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  {
7 } ) )  u.  ( ( { 5 }  X.  {
2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) ) )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )
233, 4, 223eqtri 2460 1  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    u. cun 3318   {csn 3814   {cpr 3815   <.cop 3817    X. cxp 4876   1c1 8991   NNcn 10000   2c2 10049   5c5 10052   7c7 10054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-1cn 9048
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063
  Copyright terms: Public domain W3C validator