MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-xp Unicode version

Theorem ex-xp 20823
Description: Example for df-xp 4695. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-xp  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )

Proof of Theorem ex-xp
StepHypRef Expression
1 df-pr 3647 . . 3  |-  { 1 ,  5 }  =  ( { 1 }  u.  { 5 } )
2 df-pr 3647 . . 3  |-  { 2 ,  7 }  =  ( { 2 }  u.  { 7 } )
31, 2xpeq12i 4711 . 2  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( ( { 1 }  u.  { 5 } )  X.  ( { 2 }  u.  { 7 } ) )
4 xpun 4747 . 2  |-  ( ( { 1 }  u.  { 5 } )  X.  ( { 2 }  u.  { 7 } ) )  =  ( ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  u.  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) ) )
5 1ex 8833 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
6 2nn 9877 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
76elexi 2797 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
85, 7xpsn 5700 . . . . 5  |-  ( { 1 }  X.  {
2 } )  =  { <. 1 ,  2
>. }
9 7nn 9882 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN
109elexi 2797 . . . . . 6  |-  7  e.  _V
115, 10xpsn 5700 . . . . 5  |-  ( { 1 }  X.  {
7 } )  =  { <. 1 ,  7
>. }
128, 11uneq12i 3327 . . . 4  |-  ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  =  ( { <. 1 ,  2 >. }  u.  {
<. 1 ,  7
>. } )
13 df-pr 3647 . . . 4  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 1 ,  7
>. }  =  ( {
<. 1 ,  2
>. }  u.  { <. 1 ,  7 >. } )
1412, 13eqtr4i 2306 . . 3  |-  ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 1 ,  7 >. }
15 5nn 9880 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
1615elexi 2797 . . . . . 6  |-  5  e.  _V
1716, 7xpsn 5700 . . . . 5  |-  ( { 5 }  X.  {
2 } )  =  { <. 5 ,  2
>. }
1816, 10xpsn 5700 . . . . 5  |-  ( { 5 }  X.  {
7 } )  =  { <. 5 ,  7
>. }
1917, 18uneq12i 3327 . . . 4  |-  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) )  =  ( { <. 5 ,  2 >. }  u.  {
<. 5 ,  7
>. } )
20 df-pr 3647 . . . 4  |-  { <. 5 ,  2 >. , 
<. 5 ,  7
>. }  =  ( {
<. 5 ,  2
>. }  u.  { <. 5 ,  7 >. } )
2119, 20eqtr4i 2306 . . 3  |-  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) )  =  { <. 5 ,  2
>. ,  <. 5 ,  7 >. }
2214, 21uneq12i 3327 . 2  |-  ( ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  {
7 } ) )  u.  ( ( { 5 }  X.  {
2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) ) )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )
233, 4, 223eqtri 2307 1  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    u. cun 3150   {csn 3640   {cpr 3641   <.cop 3643    X. cxp 4687   1c1 8738   NNcn 9746   2c2 9795   5c5 9798   7c7 9800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-1cn 8795
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809
  Copyright terms: Public domain W3C validator