MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-xp Unicode version

Theorem ex-xp 20839
Description: Example for df-xp 4711. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-xp  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )

Proof of Theorem ex-xp
StepHypRef Expression
1 df-pr 3660 . . 3  |-  { 1 ,  5 }  =  ( { 1 }  u.  { 5 } )
2 df-pr 3660 . . 3  |-  { 2 ,  7 }  =  ( { 2 }  u.  { 7 } )
31, 2xpeq12i 4727 . 2  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( ( { 1 }  u.  { 5 } )  X.  ( { 2 }  u.  { 7 } ) )
4 xpun 4763 . 2  |-  ( ( { 1 }  u.  { 5 } )  X.  ( { 2 }  u.  { 7 } ) )  =  ( ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  u.  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) ) )
5 1ex 8849 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
6 2nn 9893 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
76elexi 2810 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
85, 7xpsn 5716 . . . . 5  |-  ( { 1 }  X.  {
2 } )  =  { <. 1 ,  2
>. }
9 7nn 9898 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN
109elexi 2810 . . . . . 6  |-  7  e.  _V
115, 10xpsn 5716 . . . . 5  |-  ( { 1 }  X.  {
7 } )  =  { <. 1 ,  7
>. }
128, 11uneq12i 3340 . . . 4  |-  ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  =  ( { <. 1 ,  2 >. }  u.  {
<. 1 ,  7
>. } )
13 df-pr 3660 . . . 4  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 1 ,  7
>. }  =  ( {
<. 1 ,  2
>. }  u.  { <. 1 ,  7 >. } )
1412, 13eqtr4i 2319 . . 3  |-  ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 1 ,  7 >. }
15 5nn 9896 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
1615elexi 2810 . . . . . 6  |-  5  e.  _V
1716, 7xpsn 5716 . . . . 5  |-  ( { 5 }  X.  {
2 } )  =  { <. 5 ,  2
>. }
1816, 10xpsn 5716 . . . . 5  |-  ( { 5 }  X.  {
7 } )  =  { <. 5 ,  7
>. }
1917, 18uneq12i 3340 . . . 4  |-  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) )  =  ( { <. 5 ,  2 >. }  u.  {
<. 5 ,  7
>. } )
20 df-pr 3660 . . . 4  |-  { <. 5 ,  2 >. , 
<. 5 ,  7
>. }  =  ( {
<. 5 ,  2
>. }  u.  { <. 5 ,  7 >. } )
2119, 20eqtr4i 2319 . . 3  |-  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) )  =  { <. 5 ,  2
>. ,  <. 5 ,  7 >. }
2214, 21uneq12i 3340 . 2  |-  ( ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  {
7 } ) )  u.  ( ( { 5 }  X.  {
2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) ) )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )
233, 4, 223eqtri 2320 1  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    u. cun 3163   {csn 3653   {cpr 3654   <.cop 3656    X. cxp 4703   1c1 8754   NNcn 9762   2c2 9811   5c5 9814   7c7 9816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-1cn 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825
  Copyright terms: Public domain W3C validator