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Theorem exfo 5678
Description: A relation equivalent to the existence of an onto mapping. The right-hand  f is not necessarily a function. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
exfo  |-  ( E. f  f : A -onto-> B 
<->  E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem exfo
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffo4 5676 . . . 4  |-  ( f : A -onto-> B  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
2 dff4 5674 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  <->  ( f  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f
y ) )
32simprbi 450 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y )
43anim1i 551 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  -> 
( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f x ) )
51, 4sylbi 187 . . 3  |-  ( f : A -onto-> B  -> 
( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f x ) )
65eximi 1563 . 2  |-  ( E. f  f : A -onto-> B  ->  E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
7 brinxp 4752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x f y  <-> 
x ( f  i^i  ( A  X.  B
) ) y ) )
87reubidva 2723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( E! y  e.  B  x f y  <->  E! y  e.  B  x (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) y ) )
98biimpd 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( E! y  e.  B  x f y  ->  E! y  e.  B  x ( f  i^i  ( A  X.  B
) ) y ) )
109ralimia 2616 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  ->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) y )
11 inss2 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( A  X.  B
)
1210, 11jctil 523 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  ->  (
( f  i^i  ( A  X.  B ) ) 
C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
( f  i^i  ( A  X.  B ) ) y ) )
13 dff4 5674 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A --> B  <->  ( (
f  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) y ) )
1412, 13sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  ->  (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A --> B )
15 rninxp 5117 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B  <->  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f
x )
1615biimpri 197 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B )
1714, 16anim12i 549 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  -> 
( ( f  i^i  ( A  X.  B
) ) : A --> B  /\  ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B ) )
18 dffo2 5455 . . . . . 6  |-  ( ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B  <->  ( (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A --> B  /\  ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B ) )
1917, 18sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  -> 
( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B )
20 vex 2791 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
2120inex1 4155 . . . . . 6  |-  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  e. 
_V
22 foeq1 5447 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  i^i  ( A  X.  B
) )  ->  (
g : A -onto-> B  <->  ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B ) )
2321, 22spcev 2875 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B  ->  E. g  g : A -onto-> B )
2419, 23syl 15 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  ->  E. g  g : A -onto-> B )
2524exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f
y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f
x )  ->  E. g 
g : A -onto-> B
)
26 foeq1 5447 . . . 4  |-  ( g  =  f  ->  (
g : A -onto-> B  <->  f : A -onto-> B ) )
2726cbvexv 1943 . . 3  |-  ( E. g  g : A -onto-> B 
<->  E. f  f : A -onto-> B )
2825, 27sylib 188 . 2  |-  ( E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f
y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f
x )  ->  E. f 
f : A -onto-> B
)
296, 28impbii 180 1  |-  ( E. f  f : A -onto-> B 
<->  E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ran crn 4690   -->wf 5251   -onto->wfo 5253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263
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