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Theorem exfo 5887
Description: A relation equivalent to the existence of an onto mapping. The right-hand  f is not necessarily a function. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
exfo  |-  ( E. f  f : A -onto-> B 
<->  E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem exfo
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffo4 5885 . . . 4  |-  ( f : A -onto-> B  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
2 dff4 5883 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  <->  ( f  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f
y ) )
32simprbi 451 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y )
43anim1i 552 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  -> 
( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f x ) )
51, 4sylbi 188 . . 3  |-  ( f : A -onto-> B  -> 
( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f x ) )
65eximi 1585 . 2  |-  ( E. f  f : A -onto-> B  ->  E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
7 brinxp 4940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x f y  <-> 
x ( f  i^i  ( A  X.  B
) ) y ) )
87reubidva 2891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( E! y  e.  B  x f y  <->  E! y  e.  B  x (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) y ) )
98biimpd 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( E! y  e.  B  x f y  ->  E! y  e.  B  x ( f  i^i  ( A  X.  B
) ) y ) )
109ralimia 2779 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  ->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) y )
11 inss2 3562 . . . . . . . . 9  |-  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( A  X.  B
)
1210, 11jctil 524 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  ->  (
( f  i^i  ( A  X.  B ) ) 
C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
( f  i^i  ( A  X.  B ) ) y ) )
13 dff4 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A --> B  <->  ( (
f  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) y ) )
1412, 13sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  ->  (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A --> B )
15 rninxp 5310 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B  <->  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f
x )
1615biimpri 198 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B )
1714, 16anim12i 550 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  -> 
( ( f  i^i  ( A  X.  B
) ) : A --> B  /\  ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B ) )
18 dffo2 5657 . . . . . 6  |-  ( ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B  <->  ( (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A --> B  /\  ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B ) )
1917, 18sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  -> 
( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B )
20 vex 2959 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
2120inex1 4344 . . . . . 6  |-  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  e. 
_V
22 foeq1 5649 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  i^i  ( A  X.  B
) )  ->  (
g : A -onto-> B  <->  ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B ) )
2321, 22spcev 3043 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B  ->  E. g  g : A -onto-> B )
2419, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  ->  E. g  g : A -onto-> B )
2524exlimiv 1644 . . 3  |-  ( E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f
y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f
x )  ->  E. g 
g : A -onto-> B
)
26 foeq1 5649 . . . 4  |-  ( g  =  f  ->  (
g : A -onto-> B  <->  f : A -onto-> B ) )
2726cbvexv 1985 . . 3  |-  ( E. g  g : A -onto-> B 
<->  E. f  f : A -onto-> B )
2825, 27sylib 189 . 2  |-  ( E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f
y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f
x )  ->  E. f 
f : A -onto-> B
)
296, 28impbii 181 1  |-  ( E. f  f : A -onto-> B 
<->  E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707    i^i cin 3319    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   ran crn 4879   -->wf 5450   -onto->wfo 5452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fo 5460  df-fv 5462
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