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Theorem exopcopn 25675
Description: For every neighborhood  N of  <. A ,  B >. in a product topology, there exist two open sets  u and  v of the component topologies so that  ( u  X.  v ) is an open neighborhood of  <. A ,  B >. and a part of  N. (Use opelxp 4735 to have  A  e.  u and  B  e.  v.) (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
exopcopn.1  |-  T  =  ( R  tX  S
)
Assertion
Ref Expression
exopcopn  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  N ) )
Distinct variable groups:    v, u, A    u, N, v    u, B, v    u, R, v   
u, S, v
Allowed substitution hints:    C( v, u)    D( v, u)    T( v, u)

Proof of Theorem exopcopn
Dummy variables  o  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )
2 exopcopn.1 . . . . . 6  |-  T  =  ( R  tX  S
)
3 txtop 17280 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
433ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
52, 4syl5eqel 2380 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  T  e.  Top )
6 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  U. T  =  U. T
76neii1 16859 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  T ) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  N  C_  U. T )
85, 1, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  N  C_  U. T
)
9 opex 4253 . . . . . . . 8  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
109a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  <. A ,  B >.  e.  _V )
11 elnei 16864 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Top  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  <. A ,  B >.  e.  N )
125, 10, 1, 11syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  <. A ,  B >.  e.  N )
138, 12sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  <. A ,  B >.  e.  U. T )
146isneip 16858 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Top  /\  <. A ,  B >.  e. 
U. T )  -> 
( N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } )  <->  ( N  C_ 
U. T  /\  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  N ) ) ) )
155, 13, 14syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } )  <->  ( N  C_ 
U. T  /\  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  N ) ) ) )
161, 15mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  ( N  C_  U. T  /\  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  N
) ) )
1716simprd 449 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  N ) )
18 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  /\  N  e.  (
( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  /\  ( o  e.  T  /\  <. A ,  B >.  e.  o ) )  ->  <. A ,  B >.  e.  o )
19 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  /\  N  e.  (
( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  /\  ( o  e.  T  /\  <. A ,  B >.  e.  o ) )  ->  o  e.  T )
2019, 2syl6eleq 2386 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  /\  N  e.  (
( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  /\  ( o  e.  T  /\  <. A ,  B >.  e.  o ) )  ->  o  e.  ( R  tX  S ) )
21 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  /\  N  e.  (
( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  /\  ( o  e.  T  /\  <. A ,  B >.  e.  o ) )  ->  ( R  e.  Top  /\  S  e. 
Top ) )
22 eltx 17279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( o  e.  ( R  tX  S )  <->  A. x  e.  o  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( x  e.  (
u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  o
) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  /\  N  e.  (
( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  /\  ( o  e.  T  /\  <. A ,  B >.  e.  o ) )  ->  ( o  e.  ( R  tX  S
)  <->  A. x  e.  o  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( x  e.  (
u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  o
) ) )
2420, 23mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  /\  N  e.  (
( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  /\  ( o  e.  T  /\  <. A ,  B >.  e.  o ) )  ->  A. x  e.  o  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( x  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  o
) )
25 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( x  e.  ( u  X.  v
)  <->  <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v ) ) )
2625anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( x  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  o )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  o
) ) )
27262rexbidv 2599 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( x  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  o
)  <->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  o ) ) )
2827rspcv 2893 . . . . . . 7  |-  ( <. A ,  B >.  e.  o  ->  ( A. x  e.  o  E. u  e.  R  E. v  e.  S  (
x  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  o )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  o ) ) )
2918, 24, 28sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  /\  N  e.  (
( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  /\  ( o  e.  T  /\  <. A ,  B >.  e.  o ) )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  o
) )
30 sstr2 3199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  o  ->  (
o  C_  N  ->  ( u  X.  v ) 
C_  N ) )
3130com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( o 
C_  N  ->  (
( u  X.  v
)  C_  o  ->  ( u  X.  v ) 
C_  N ) )
3231anim2d 548 . . . . . . . 8  |-  ( o 
C_  N  ->  (
( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  o )  -> 
( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  N ) ) )
3332reximdv 2667 . . . . . . 7  |-  ( o 
C_  N  ->  ( E. v  e.  S  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  o )  ->  E. v  e.  S  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  N ) ) )
3433reximdv 2667 . . . . . 6  |-  ( o 
C_  N  ->  ( E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  o )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  N ) ) )
3529, 34syl5com 26 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  /\  N  e.  (
( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  /\  ( o  e.  T  /\  <. A ,  B >.  e.  o ) )  ->  ( o  C_  N  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  N
) ) )
3635anassrs 629 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  /\  N  e.  (
( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  /\  o  e.  T
)  /\  <. A ,  B >.  e.  o )  ->  ( o  C_  N  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  N ) ) )
3736expimpd 586 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  /\  N  e.  (
( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  /\  o  e.  T
)  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  N )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  N
) ) )
3837rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  ( E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  N
)  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  N
) ) )
3917, 38mpd 14 1  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  /\  N  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653   <.cop 3656   U.cuni 3843    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647   neicnei 16850    tX ctx 17271
This theorem is referenced by:  limptlimpr2lem2  25678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-nei 16851  df-tx 17273
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