MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp0 Unicode version

Theorem exp0 11108
Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition,  0 ^ 0  =  1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
exp0  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )

Proof of Theorem exp0
StepHypRef Expression
1 0z 10035 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 expval 11106 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A ^ 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  0
) ,  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
31, 2mpan2 652 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
0 ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
4 eqid 2283 . . 3  |-  0  =  0
5 iftrue 3571 . . 3  |-  ( 0  =  0  ->  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) ` 
0 ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  1 )
64, 5ax-mp 8 . 2  |-  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  0
) ,  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  1
73, 6syl6eq 2331 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024    seq cseq 11046   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  expp1  11110  expneg  11111  expcllem  11114  mulexp  11141  expadd  11144  expmul  11147  leexp1a  11160  exple1  11161  bernneq  11227  modexp  11236  exp0d  11239  faclbnd  11303  faclbnd3  11305  faclbnd4lem1  11306  faclbnd4lem3  11308  faclbnd4lem4  11309  facubnd  11313  cjexp  11635  absexp  11789  binom  12288  incexclem  12295  incexc  12296  climcndslem1  12308  ef0lem  12360  ege2le3  12371  eft0val  12392  demoivreALT  12481  bits0  12619  0bits  12630  bitsinv1  12633  sadcadd  12649  smumullem  12683  numexp0  13091  cnfldexp  16407  expmhm  16449  expcn  18376  iblcnlem1  19142  itgcnlem  19144  dvexp  19302  dvexp2  19303  plyconst  19588  0dgr  19627  0dgrb  19628  coefv0  19629  aaliou3lem2  19723  tayl0  19741  cxpexp  20015  cxp0  20017  1cubr  20138  log2ublem3  20244  basellem2  20319  basellem5  20322  musum  20431  logexprlim  20464  lgsquad2lem2  20598  subfacval2  23718  bpoly0  24785  psgnunilem4  27420  m1expeven  27725  stoweidlem19  27768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-neg 9040  df-z 10025  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator