Theorem exp0t 6503

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0^0 = 1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134.

Assertion

Ref	Expression
exp0t	|- (A e. CC -> (A^0) = 1)

Proof of Theorem exp0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 6060	. . 3 |- 0 e. NN0
2		expvalt 6502	. . 3 |- ((A e. CC /\ 0 e. NN0) -> (A^0) = if(0 = 0, 1, (( x. seq1 (NN X. {A}))` 0)))
3	1, 2	mpan2 694	. 2 |- (A e. CC -> (A^0) = if(0 = 0, 1, (( x. seq1 (NN X. {A}))` 0)))
4		eqid 1468	. . 3 |- 0 = 0
5		iftrue 2356	. . 3 |- (0 = 0 -> if(0 = 0, 1, (( x. seq1 (NN X. {A}))` 0)) = 1)
6	4, 5	ax-mp 7	. 2 |- if(0 = 0, 1, (( x. seq1 (NN X. {A}))` 0)) = 1
7	3, 6	syl6eq 1515	1 |- (A e. CC -> (A^0) = 1)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  ifcif 2351  {csn 2399   X. cxp 3158  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211  NNcn 5268  NN0cn0 5269   seq1 cseq1 6244  ^cexp 6500

This theorem is referenced by:  expp1t 6506  expcllem 6507  1expt 6516  expne0it 6519  expgt0t 6520  expge0t 6522  expge1t 6524  mulexpt 6525  recexpt 6526  expaddt 6527  expmult 6528  expmwordit 6537  exple1t 6538  bernneq 6583  cjexpt 6752  absexpt 6803  faclbnd 6882  faclbnd3 6884  faclbnd4lem1 6885  faclbnd4lem3 6887  faclbnd4lem4 6888  faclbnd6 6891  binomlem1 7004  binomlem2 7005  binomlem3 7006  binomlem4 7007  binomlem6 7009  binom 7010  geoser 7169  geolim1i 7173  dfef2 7249  ef0lem 7252  efaddlem6 7285  efexpt 7314  eft0val 7339  demoivre 7426

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-n 5873  df-n0 6047  df-exp 6501

Copyright terms: Public domain