MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp1 Structured version   Unicode version

Theorem exp1 11392
Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
exp1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )

Proof of Theorem exp1
StepHypRef Expression
1 1nn 10016 . . . 4  |-  1  e.  NN
2 expnnval 11390 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  NN )  ->  ( A ^ 1 )  =  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 ) )
31, 2mpan2 654 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  1
) )
4 1z 10316 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
5 seq1 11341 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  1
) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  1
)
73, 6syl6eq 2486 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) ` 
1 ) )
8 fvconst2g 5948 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { A } ) ` 
1 )  =  A )
91, 8mpan2 654 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  1
)  =  A )
107, 9eqtrd 2470 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   {csn 3816    X. cxp 4879   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   1c1 8996    x. cmul 9000   NNcn 10005   ZZcz 10287    seq cseq 11328   ^cexp 11387
This theorem is referenced by:  expp1  11393  expn1  11396  expcllem  11397  expeq0  11415  expp1z  11433  expm1  11434  sqval  11446  expnbnd  11513  digit1  11518  exp1d  11523  faclbnd4lem1  11589  climcndslem1  12634  climcndslem2  12635  geoisum1  12661  ef4p  12719  efgt1p2  12720  efgt1p  12721  rpnnen2lem3  12821  modxp1i  13411  numexp1  13418  lt6abl  15509  iblcnlem1  19682  itgcnlem  19684  dvexp  19844  dveflem  19868  plyid  20133  coeidp  20186  dgrid  20187  cxp1  20567  1cubrlem  20686  1cubr  20687  log2ublem3  20793  basellem5  20872  perfectlem2  21019  logdivsum  21232  log2sumbnd  21243  ipval2  22208  subfacval2  24878  bpoly1  26102  dvreasin  26304  areacirclem1  26306  expmordi  27024  psgnpmtr  27424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-seq 11329  df-exp 11388
  Copyright terms: Public domain W3C validator