MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp1 Unicode version

Theorem exp1 11109
Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
exp1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )

Proof of Theorem exp1
StepHypRef Expression
1 1nn 9757 . . . 4  |-  1  e.  NN
2 expnnval 11107 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  NN )  ->  ( A ^ 1 )  =  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 ) )
31, 2mpan2 652 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  1
) )
4 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
5 seq1 11059 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  1
) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  1
)
73, 6syl6eq 2331 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) ` 
1 ) )
8 fvconst2g 5727 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { A } ) ` 
1 )  =  A )
91, 8mpan2 652 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  1
)  =  A )
107, 9eqtrd 2315 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738    x. cmul 8742   NNcn 9746   ZZcz 10024    seq cseq 11046   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  expp1  11110  expn1  11113  expcllem  11114  expeq0  11132  expp1z  11150  expm1  11151  sqval  11163  expnbnd  11230  digit1  11235  exp1d  11240  faclbnd4lem1  11306  climcndslem1  12308  climcndslem2  12309  geoisum1  12335  ef4p  12393  efgt1p2  12394  efgt1p  12395  rpnnen2lem3  12495  modxp1i  13085  numexp1  13092  lt6abl  15181  iblcnlem1  19142  itgcnlem  19144  dvexp  19302  dveflem  19326  plyid  19591  coeidp  19644  dgrid  19645  cxp1  20018  1cubrlem  20137  1cubr  20138  log2ublem3  20244  basellem5  20322  perfectlem2  20469  logdivsum  20682  log2sumbnd  20693  ipval2  21280  subfacval2  23718  bpoly1  24786  fsumcube  24795  dvreasin  24923  areacirclem2  24925  cntrset  25602  expmordi  27032  psgnpmtr  27433  stoweidlem3  27752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator