Theorem expaddd 11484

Description: Sum of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
expcld.2	|- ( ph -> N e. NN0 )
expaddd.2	|- ( ph -> M e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
expaddd	|- ( ph -> ( A ^ ( M + N ) ) = ( ( A ^ M ) x. ( A ^ N ) ) )

Proof of Theorem expaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		expaddd.2	. 2 |- ( ph -> M e. NN0 )
3		expcld.2	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
4		expadd 11381	. 2 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ ( M + N ) ) = ( ( A ^ M ) x. ( A ^ N ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1184	1 |- ( ph -> ( A ^ ( M + N ) ) = ( ( A ^ M ) x. ( A ^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721  (class class class)co 6044   CCcc 8948   + caddc 8953   x. cmul 8955   NN0cn0 10181   ^cexp 11341

This theorem is referenced by:  dvdsexp  12864  odzdvds  13140  pcpremul  13176  prmreclem6  13248  plymullem1  20090  quart1lem  20652  log2cnv  20741  mumul  20921  lgsdi  21073  lgseisenlem2  21091  lgsquadlem2  21096  lgsquadlem3  21097  ostth2lem1  21269  binomrisefac  25313  jm2.23  26961  psgnghm  27309  m1expeven  27596  itgsinexp  27620  wallispi2lem2  27692

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-seq 11283  df-exp 11342