MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Structured version   Unicode version

Theorem expcl 11401
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3369 . 2  |-  CC  C_  CC
2 mulcl 9076 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
3 ax-1cn 9050 . 2  |-  1  e.  CC
41, 2, 3expcllem 11394 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726  (class class class)co 6083   CCcc 8990   NN0cn0 10223   ^cexp 11384
This theorem is referenced by:  expeq0  11412  expnegz  11416  mulexp  11421  mulexpz  11422  expadd  11424  expaddzlem  11425  expaddz  11426  expmul  11427  expmulz  11428  expdiv  11432  binom3  11502  digit2  11514  digit1  11515  expcld  11525  faclbnd2  11584  faclbnd4lem4  11589  faclbnd6  11592  cjexp  11957  absexp  12111  ackbijnn  12609  binomlem  12610  binom1p  12612  binom1dif  12614  expcnv  12645  geolim  12649  geolim2  12650  geo2sum  12652  geomulcvg  12655  geoisum  12656  geoisumr  12657  geoisum1  12658  geoisum1c  12659  0.999...  12660  eftcl  12678  eftabs  12680  efcllem  12682  efcj  12696  efaddlem  12697  eflegeo  12724  efi4p  12740  prmreclem6  13291  decsplit  13421  karatsuba  13422  expmhm  16778  mbfi1fseqlem6  19614  itg0  19673  itgz  19674  itgcl  19677  itgcnlem  19683  itgsplit  19729  dvexp  19841  dvexp3  19864  plyf  20119  ply1termlem  20124  plypow  20126  plyeq0lem  20131  plypf1  20133  plyaddlem1  20134  plymullem1  20135  coeeulem  20145  coeidlem  20158  coeid3  20161  plyco  20162  dgrcolem2  20194  plycjlem  20196  plyrecj  20199  vieta1  20231  elqaalem3  20240  aareccl  20245  aalioulem1  20251  geolim3  20258  psergf  20330  dvradcnv  20339  psercn2  20341  pserdvlem2  20346  pserdv2  20348  abelthlem4  20352  abelthlem5  20353  abelthlem6  20354  abelthlem7  20356  abelthlem9  20358  advlogexp  20548  logtayllem  20552  logtayl  20553  logtaylsum  20554  logtayl2  20555  cxpeq  20643  dcubic1lem  20685  dcubic2  20686  dcubic1  20687  dcubic  20688  mcubic  20689  cubic2  20690  cubic  20691  binom4  20692  dquartlem2  20694  dquart  20695  quart1cl  20696  quart1lem  20697  quart1  20698  quartlem1  20699  quartlem2  20700  quart  20703  atantayl  20779  atantayl2  20780  atantayl3  20781  leibpi  20784  log2cnv  20786  log2tlbnd  20787  log2ublem3  20790  ftalem1  20857  ftalem4  20860  ftalem5  20861  basellem3  20867  musum  20978  1sgmprm  20985  perfect  21017  lgsquadlem1  21140  rplogsumlem2  21181  ostth2lem2  21330  ipval2  22205  dipcl  22213  dipcn  22221  sspival  22239  subfacval2  24875  fallrisefac  25343  0risefac  25356  binomrisefac  25360  bpolysum  26101  bpolydiflem  26102  fsumkthpow  26104  bpoly3  26106  bpoly4  26107  fsumcube  26108  jm2.23  27069  lhe4.4ex1a  27525
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-seq 11326  df-exp 11385
  Copyright terms: Public domain W3C validator