MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Unicode version

Theorem expcl 11137
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3210 . 2  |-  CC  C_  CC
2 mulcl 8837 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
3 ax-1cn 8811 . 2  |-  1  e.  CC
41, 2, 3expcllem 11130 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751   NN0cn0 9981   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  expeq0  11148  expnegz  11152  mulexp  11157  mulexpz  11158  expadd  11160  expaddzlem  11161  expaddz  11162  expmul  11163  expmulz  11164  expdiv  11168  binom3  11238  digit2  11250  digit1  11251  expcld  11261  faclbnd2  11320  faclbnd4lem4  11325  faclbnd6  11328  cjexp  11651  absexp  11805  ackbijnn  12302  binomlem  12303  binom1p  12305  binom1dif  12307  expcnv  12338  geolim  12342  geolim2  12343  geo2sum  12345  geomulcvg  12348  geoisum  12349  geoisumr  12350  geoisum1  12351  geoisum1c  12352  0.999...  12353  eftcl  12371  eftabs  12373  efcllem  12375  efcj  12389  efaddlem  12390  eflegeo  12417  efi4p  12433  prmreclem6  12984  decsplit  13114  karatsuba  13115  expmhm  16465  mbfi1fseqlem6  19091  itg0  19150  itgz  19151  itgcl  19154  itgcnlem  19160  itgsplit  19206  dvexp  19318  dvexp3  19341  plyf  19596  ply1termlem  19601  plypow  19603  plyeq0lem  19608  plypf1  19610  plyaddlem1  19611  plymullem1  19612  coeeulem  19622  coeidlem  19635  coeid3  19638  plyco  19639  dgrcolem2  19671  plycjlem  19673  plyrecj  19676  vieta1  19708  elqaalem3  19717  aareccl  19722  aalioulem1  19728  geolim3  19735  psergf  19804  dvradcnv  19813  psercn2  19815  pserdvlem2  19820  pserdv2  19822  abelthlem4  19826  abelthlem5  19827  abelthlem6  19828  abelthlem7  19830  abelthlem9  19832  advlogexp  20018  logtayllem  20022  logtayl  20023  logtaylsum  20024  logtayl2  20025  cxpeq  20113  dcubic1lem  20155  dcubic2  20156  dcubic1  20157  dcubic  20158  mcubic  20159  cubic2  20160  cubic  20161  binom4  20162  dquartlem2  20164  dquart  20165  quart1cl  20166  quart1lem  20167  quart1  20168  quartlem1  20169  quartlem2  20170  quart  20173  atantayl  20249  atantayl2  20250  atantayl3  20251  leibpi  20254  log2cnv  20256  log2tlbnd  20257  log2ublem3  20260  ftalem1  20326  ftalem4  20329  ftalem5  20330  basellem3  20336  musum  20447  1sgmprm  20454  perfect  20486  lgsquadlem1  20609  rplogsumlem2  20650  ostth2lem2  20799  ipval2  21296  dipcl  21304  dipcn  21312  sspival  21330  subfacval2  23733  faclimlem6  24122  bpolysum  24860  bpolydiflem  24861  fsumkthpow  24863  bpoly3  24865  bpoly4  24866  fsumcube  24867  jm2.23  27192  lhe4.4ex1a  27649  expcnfg  27829  stoweidlem1  27853  stoweidlem7  27859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator