MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Unicode version

Theorem expcl 11121
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3197 . 2  |-  CC  C_  CC
2 mulcl 8821 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
3 ax-1cn 8795 . 2  |-  1  e.  CC
41, 2, 3expcllem 11114 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   NN0cn0 9965   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  expeq0  11132  expnegz  11136  mulexp  11141  mulexpz  11142  expadd  11144  expaddzlem  11145  expaddz  11146  expmul  11147  expmulz  11148  expdiv  11152  binom3  11222  digit2  11234  digit1  11235  expcld  11245  faclbnd2  11304  faclbnd4lem4  11309  faclbnd6  11312  cjexp  11635  absexp  11789  ackbijnn  12286  binomlem  12287  binom1p  12289  binom1dif  12291  expcnv  12322  geolim  12326  geolim2  12327  geo2sum  12329  geomulcvg  12332  geoisum  12333  geoisumr  12334  geoisum1  12335  geoisum1c  12336  0.999...  12337  eftcl  12355  eftabs  12357  efcllem  12359  efcj  12373  efaddlem  12374  eflegeo  12401  efi4p  12417  prmreclem6  12968  decsplit  13098  karatsuba  13099  expmhm  16449  mbfi1fseqlem6  19075  itg0  19134  itgz  19135  itgcl  19138  itgcnlem  19144  itgsplit  19190  dvexp  19302  dvexp3  19325  plyf  19580  ply1termlem  19585  plypow  19587  plyeq0lem  19592  plypf1  19594  plyaddlem1  19595  plymullem1  19596  coeeulem  19606  coeidlem  19619  coeid3  19622  plyco  19623  dgrcolem2  19655  plycjlem  19657  plyrecj  19660  vieta1  19692  elqaalem3  19701  aareccl  19706  aalioulem1  19712  geolim3  19719  psergf  19788  dvradcnv  19797  psercn2  19799  pserdvlem2  19804  pserdv2  19806  abelthlem4  19810  abelthlem5  19811  abelthlem6  19812  abelthlem7  19814  abelthlem9  19816  advlogexp  20002  logtayllem  20006  logtayl  20007  logtaylsum  20008  logtayl2  20009  cxpeq  20097  dcubic1lem  20139  dcubic2  20140  dcubic1  20141  dcubic  20142  mcubic  20143  cubic2  20144  cubic  20145  binom4  20146  dquartlem2  20148  dquart  20149  quart1cl  20150  quart1lem  20151  quart1  20152  quartlem1  20153  quartlem2  20154  quart  20157  atantayl  20233  atantayl2  20234  atantayl3  20235  leibpi  20238  log2cnv  20240  log2tlbnd  20241  log2ublem3  20244  ftalem1  20310  ftalem4  20313  ftalem5  20314  basellem3  20320  musum  20431  1sgmprm  20438  perfect  20470  lgsquadlem1  20593  rplogsumlem2  20634  ostth2lem2  20783  ipval2  21280  dipcl  21288  dipcn  21296  sspival  21314  subfacval2  23718  bpolysum  24788  bpolydiflem  24789  fsumkthpow  24791  bpoly3  24793  bpoly4  24794  fsumcube  24795  jm2.23  27089  lhe4.4ex1a  27546  expcnfg  27726  stoweidlem1  27750  stoweidlem7  27756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator