MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcld Structured version   Unicode version

Theorem expcld 11515
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
expcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 expcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 expcl 11391 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   CCcc 8980   NN0cn0 10213   ^cexp 11374
This theorem is referenced by:  absexpz  12102  binomlem  12600  incexclem  12608  incexc  12609  incexc2  12610  geoserg  12637  geolim  12639  geolim2  12640  geo2sum2  12643  geomulcvg  12645  efaddlem  12687  oexpneg  12903  dvexp3  19854  ply1termlem  20114  dgrcolem2  20184  dvply1  20193  aareccl  20235  aalioulem1  20241  taylfvallem1  20265  tayl0  20270  dvtaylp  20278  taylthlem2  20282  radcnvlem1  20321  pserulm  20330  logtayl  20543  cxpeq  20633  atantayl2  20770  atantayl3  20771  dfef2  20801  ftalem1  20847  ftalem2  20848  ftalem5  20851  basellem4  20858  logexprlim  21001  bpolycl  26090  bpolydiflem  26092  jm2.18  27050  jm2.22  27057  jm2.23  27058  expcnfg  27693  climexp  27698  dvsinexp  27707  ibliccsinexp  27712  iblioosinexp  27714  itgsinexplem1  27715  itgsinexp  27716  stoweidlem1  27717  stoweidlem7  27723  wallispi2lem2  27788  wallispi2  27789  stirlinglem3  27792  stirlinglem4  27793  stirlinglem5  27794  stirlinglem7  27796  stirlinglem8  27797  stirlinglem10  27799  stirlinglem11  27800  stirlinglem13  27802  stirlinglem14  27803  stirlinglem15  27804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-seq 11316  df-exp 11375
  Copyright terms: Public domain W3C validator