MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcld Unicode version

Theorem expcld 11245
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
expcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 expcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 expcl 11121 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   NN0cn0 9965   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  absexpz  11790  binomlem  12287  incexclem  12295  incexc  12296  incexc2  12297  geoserg  12324  geolim  12326  geolim2  12327  geo2sum2  12330  geomulcvg  12332  efaddlem  12374  oexpneg  12590  dvexp3  19325  ply1termlem  19585  dgrcolem2  19655  dvply1  19664  aareccl  19706  aalioulem1  19712  taylfvallem1  19736  tayl0  19741  dvtaylp  19749  taylthlem2  19753  radcnvlem1  19789  pserulm  19798  logtayl  20007  cxpeq  20097  atantayl2  20234  atantayl3  20235  dfef2  20265  ftalem1  20310  ftalem2  20311  ftalem5  20314  basellem4  20321  logexprlim  20464  bpolycl  24787  bpolydiflem  24789  jm2.18  27081  jm2.22  27088  jm2.23  27089  expcnfg  27726  climexp  27731  dvsinexp  27740  ibliccsinexp  27745  iblioosinexp  27747  itgsinexplem1  27748  itgsinexp  27749  wallispi2lem2  27821  wallispi2  27822  stirlinglem3  27825  stirlinglem4  27826  stirlinglem5  27827  stirlinglem7  27829  stirlinglem8  27830  stirlinglem10  27832  stirlinglem11  27833  stirlinglem13  27835  stirlinglem14  27836  stirlinglem15  27837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator