MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcld Unicode version

Theorem expcld 11450
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
expcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 expcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 expcl 11326 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717  (class class class)co 6020   CCcc 8921   NN0cn0 10153   ^cexp 11309
This theorem is referenced by:  absexpz  12037  binomlem  12535  incexclem  12543  incexc  12544  incexc2  12545  geoserg  12572  geolim  12574  geolim2  12575  geo2sum2  12578  geomulcvg  12580  efaddlem  12622  oexpneg  12838  dvexp3  19729  ply1termlem  19989  dgrcolem2  20059  dvply1  20068  aareccl  20110  aalioulem1  20116  taylfvallem1  20140  tayl0  20145  dvtaylp  20153  taylthlem2  20157  radcnvlem1  20196  pserulm  20205  logtayl  20418  cxpeq  20508  atantayl2  20645  atantayl3  20646  dfef2  20676  ftalem1  20722  ftalem2  20723  ftalem5  20726  basellem4  20733  logexprlim  20876  bpolycl  25812  bpolydiflem  25814  jm2.18  26750  jm2.22  26757  jm2.23  26758  expcnfg  27394  climexp  27399  dvsinexp  27408  ibliccsinexp  27413  iblioosinexp  27415  itgsinexplem1  27416  itgsinexp  27417  stoweidlem1  27418  stoweidlem7  27424  wallispi2lem2  27489  wallispi2  27490  stirlinglem3  27493  stirlinglem4  27494  stirlinglem5  27495  stirlinglem7  27497  stirlinglem8  27498  stirlinglem10  27500  stirlinglem11  27501  stirlinglem13  27503  stirlinglem14  27504  stirlinglem15  27505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-seq 11251  df-exp 11310
  Copyright terms: Public domain W3C validator