MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expclzlem Structured version   Unicode version

Theorem expclzlem 11407
Description: Closure law for integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expclzlem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )

Proof of Theorem expclzlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 3929 . . . 4  |-  ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
2 difss 3476 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
3 eldifsn 3929 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
4 eldifsn 3929 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
5 mulcl 9076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
65ad2ant2r 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
7 mulne0 9666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  =/=  0 )
8 eldifsn 3929 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y
)  =/=  0 ) )
96, 7, 8sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
103, 4, 9syl2anb 467 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
11 ax-1cn 9050 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
12 ax-1ne0 9061 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
13 eldifsn 3929 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )
1411, 12, 13mpbir2an 888 . . . . . 6  |-  1  e.  ( CC  \  {
0 } )
15 reccl 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
16 recne0 9693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  =/=  0 )
1715, 16jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  =/=  0 ) )
18 eldifsn 3929 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  =/=  0 ) )
1917, 3, 183imtr4i 259 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
2019adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
212, 10, 14, 20expcl2lem 11395 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
22213expia 1156 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  A  =/=  0 )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
231, 22sylanbr 461 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
2423anabss3 798 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
25243impia 1151 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319   {csn 3816  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992   1c1 8993    x. cmul 8997    / cdiv 9679   ZZcz 10284   ^cexp 11384
This theorem is referenced by:  expclz  11408  expne0i  11414  expghm  16779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-seq 11326  df-exp 11385
  Copyright terms: Public domain W3C validator