MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expclzlem Unicode version

Theorem expclzlem 11127
Description: Closure law for integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expclzlem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )

Proof of Theorem expclzlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 3749 . . . 4  |-  ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
2 difss 3303 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
3 eldifsn 3749 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
4 eldifsn 3749 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
5 mulcl 8821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
65ad2ant2r 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
7 mulne0 9410 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  =/=  0 )
8 eldifsn 3749 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y
)  =/=  0 ) )
96, 7, 8sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
103, 4, 9syl2anb 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
11 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
12 ax-1ne0 8806 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
13 eldifsn 3749 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )
1411, 12, 13mpbir2an 886 . . . . . 6  |-  1  e.  ( CC  \  {
0 } )
15 reccl 9431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
16 recne0 9437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  =/=  0 )
1715, 16jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  =/=  0 ) )
18 eldifsn 3749 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  =/=  0 ) )
1917, 3, 183imtr4i 257 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
2019adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
212, 10, 14, 20expcl2lem 11115 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
22213expia 1153 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  A  =/=  0 )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
231, 22sylanbr 459 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
2423anabss3 796 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
25243impia 1148 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149   {csn 3640  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    / cdiv 9423   ZZcz 10024   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  expclz  11128  expne0i  11134  expghm  16450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator