Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcn Structured version   Unicode version

Theorem expcn 18933
 Description: The power function on complex numbers, for fixed exponent , is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
expcn.j fld
Assertion
Ref Expression
expcn
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem expcn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6118 . . . 4
21mpteq2dv 4321 . . 3
32eleq1d 2508 . 2
4 oveq2 6118 . . . 4
54mpteq2dv 4321 . . 3
65eleq1d 2508 . 2
7 oveq2 6118 . . . 4
87mpteq2dv 4321 . . 3
98eleq1d 2508 . 2
10 oveq2 6118 . . . 4
1110mpteq2dv 4321 . . 3
1211eleq1d 2508 . 2
13 exp0 11417 . . . 4
1413mpteq2ia 4316 . . 3
15 expcn.j . . . . . . 7 fld
1615cnfldtopon 18848 . . . . . 6 TopOn
1716a1i 11 . . . . 5 TopOn
18 ax-1cn 9079 . . . . . 6
1918a1i 11 . . . . 5
2017, 17, 19cnmptc 17725 . . . 4
2120trud 1333 . . 3
2214, 21eqeltri 2512 . 2
23 oveq1 6117 . . . . . 6
2423cbvmptv 4325 . . . . 5
25 id 21 . . . . . . 7
26 simpl 445 . . . . . . 7
27 expp1 11419 . . . . . . 7
2825, 26, 27syl2anr 466 . . . . . 6
2928mpteq2dva 4320 . . . . 5
3024, 29syl5eq 2486 . . . 4
3116a1i 11 . . . . 5 TopOn
32 oveq1 6117 . . . . . . 7
3332cbvmptv 4325 . . . . . 6
34 simpr 449 . . . . . 6
3533, 34syl5eqelr 2527 . . . . 5
3631cnmptid 17724 . . . . 5
3715mulcn 18928 . . . . . 6
3837a1i 11 . . . . 5
3931, 35, 36, 38cnmpt12f 17729 . . . 4
4030, 39eqeltrd 2516 . . 3
4140ex 425 . 2
423, 6, 9, 12, 22, 41nn0ind 10397 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wtru 1326   wceq 1653   wcel 1727   cmpt 4291  cfv 5483  (class class class)co 6110  cc 9019  cc0 9021  c1 9022   caddc 9024   cmul 9026  cn0 10252  cexp 11413  ctopn 13680  ℂfldccnfld 16734  TopOnctopon 16990   ccn 17319   ctx 17623 This theorem is referenced by:  sqcn  18935  plycn  20210  psercn2  20370  atansopn  20803  pntlem3  21334  expcncf  27737  climexp  27745 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-mulf 9101 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383
 Copyright terms: Public domain W3C validator