MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcn Unicode version

Theorem expcn 18590
Description: The power function on complex numbers, for fixed exponent 
N, is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
expcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
expcn  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, N

Proof of Theorem expcn
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5989 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
0 ) )
21mpteq2dv 4209 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) ) )
32eleq1d 2432 . 2  |-  ( n  =  0  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
4 oveq2 5989 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
k ) )
54mpteq2dv 4209 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
65eleq1d 2432 . 2  |-  ( n  =  k  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
7 oveq2 5989 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
( k  +  1 ) ) )
87mpteq2dv 4209 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) ) )
98eleq1d 2432 . 2  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
10 oveq2 5989 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^ N ) )
1110mpteq2dv 4209 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
1211eleq1d 2432 . 2  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
13 exp0 11273 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 0 )  =  1 )
1413mpteq2ia 4204 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
15 expcn.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1615cnfldtopon 18505 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1716a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
18 ax-1cn 8942 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
1918a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
2017, 17, 19cnmptc 17573 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  1 )  e.  ( J  Cn  J ) )
2120trud 1328 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  1 )  e.  ( J  Cn  J )
2214, 21eqeltri 2436 . 2  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) )  e.  ( J  Cn  J )
23 oveq1 5988 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x ^ ( k  +  1 ) )  =  ( n ^
( k  +  1 ) ) )
2423cbvmptv 4213 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
( k  +  1 ) ) )
25 id 19 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  CC  ->  n  e.  CC )
26 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  k  e.  NN0 )
27 expp1 11275 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( n ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( n ^ k )  x.  n ) )
2825, 26, 27syl2anr 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  /\  n  e.  CC )  ->  (
n ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( n ^ k )  x.  n ) )
2928mpteq2dva 4208 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
( k  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( ( n ^
k )  x.  n
) ) )
3024, 29syl5eq 2410 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( ( n ^
k )  x.  n
) ) )
3116a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
32 oveq1 5988 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
x ^ k )  =  ( n ^
k ) )
3332cbvmptv 4213 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
k ) )
34 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
k ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3533, 34syl5eqelr 2451 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
k ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3631cnmptid 17572 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  n )  e.  ( J  Cn  J
) )
3715mulcn 18585 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
3837a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
3931, 35, 36, 38cnmpt12f 17577 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  ( ( n ^ k )  x.  n ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4030, 39eqeltrd 2440 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4140ex 423 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  e.  ( J  Cn  J )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
423, 6, 9, 12, 22, 41nn0ind 10259 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    T. wtru 1321    = wceq 1647    e. wcel 1715    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889   NN0cn0 10114   ^cexp 11269   TopOpenctopn 13536  ℂfldccnfld 16593  TopOnctopon 16849    Cn ccn 17171    tX ctx 17472
This theorem is referenced by:  sqcn  18592  plycn  19857  psercn2  20017  atansopn  20450  pntlem3  20981  expcncf  27229  climexp  27237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100
  Copyright terms: Public domain W3C validator