MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcn Unicode version

Theorem expcn 18376
Description: The power function on complex numbers, for fixed exponent 
N, is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
expcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
expcn  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, N

Proof of Theorem expcn
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
0 ) )
21mpteq2dv 4107 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) ) )
32eleq1d 2349 . 2  |-  ( n  =  0  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
4 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
k ) )
54mpteq2dv 4107 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
65eleq1d 2349 . 2  |-  ( n  =  k  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
7 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
( k  +  1 ) ) )
87mpteq2dv 4107 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) ) )
98eleq1d 2349 . 2  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
10 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^ N ) )
1110mpteq2dv 4107 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
1211eleq1d 2349 . 2  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
13 exp0 11108 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 0 )  =  1 )
1413mpteq2ia 4102 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
15 expcn.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1615cnfldtopon 18292 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1716a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
18 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
1918a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
2017, 17, 19cnmptc 17356 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  1 )  e.  ( J  Cn  J ) )
2120trud 1314 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  1 )  e.  ( J  Cn  J )
2214, 21eqeltri 2353 . 2  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) )  e.  ( J  Cn  J )
23 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x ^ ( k  +  1 ) )  =  ( n ^
( k  +  1 ) ) )
2423cbvmptv 4111 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
( k  +  1 ) ) )
25 id 19 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  CC  ->  n  e.  CC )
26 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  k  e.  NN0 )
27 expp1 11110 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( n ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( n ^ k )  x.  n ) )
2825, 26, 27syl2anr 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  /\  n  e.  CC )  ->  (
n ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( n ^ k )  x.  n ) )
2928mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
( k  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( ( n ^
k )  x.  n
) ) )
3024, 29syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( ( n ^
k )  x.  n
) ) )
3116a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
32 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
x ^ k )  =  ( n ^
k ) )
3332cbvmptv 4111 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
k ) )
34 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
k ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3533, 34syl5eqelr 2368 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
k ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3631cnmptid 17355 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  n )  e.  ( J  Cn  J
) )
3715mulcn 18371 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
3837a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
3931, 35, 36, 38cnmpt12f 17360 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  ( ( n ^ k )  x.  n ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4030, 39eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4140ex 423 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  e.  ( J  Cn  J )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
423, 6, 9, 12, 22, 41nn0ind 10108 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   NN0cn0 9965   ^cexp 11104   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  sqcn  18378  plycn  19642  psercn2  19799  atansopn  20228  pntlem3  20758  expcncf  27723  climexp  27731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
  Copyright terms: Public domain W3C validator