Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expcnfg Unicode version

Theorem expcnfg 27829
Description: If  F is a complex continuous function and N is a fixed number, then F^N is continuous too. A generalization of expcncf 27826. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnfg.1  |-  F/_ x F
expcnfg.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
expcnfg.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
expcnfg  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x ) ^ N
) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, N    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem expcnfg
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ t
( ( F `  x ) ^ N
)
2 expcnfg.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ x F
3 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
t
42, 3nffv 5548 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( F `  t
)
5 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ x ^
6 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ x N
74, 5, 6nfov 5897 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( F `  t ) ^ N
)
8 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  ( F `  x )  =  ( F `  t ) )
98oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( x  =  t  ->  (
( F `  x
) ^ N )  =  ( ( F `
 t ) ^ N ) )
101, 7, 9cbvmpt 4126 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x ) ^ N ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( ( F `
 t ) ^ N ) )
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x ) ^ N
) )  =  ( t  e.  A  |->  ( ( F `  t
) ^ N ) ) )
12 expcnfg.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
13 cncff 18413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  F : A
--> CC )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
1514adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  F : A --> CC )
16 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  t  e.  A )
1715, 16jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )
)
18 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
1917, 18syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
20 expcnfg.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2120adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  N  e.  NN0 )
2219, 21expcld 11261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  (
( F `  t
) ^ N )  e.  CC )
2319, 22jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  (
( F `  t
)  e.  CC  /\  ( ( F `  t ) ^ N
)  e.  CC ) )
24 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  t )  ->  (
x ^ N )  =  ( ( F `
 t ) ^ N ) )
25 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )
264, 7, 24, 25fvmptf 5632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  CC  /\  ( ( F `  t ) ^ N
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `
 ( F `  t ) )  =  ( ( F `  t ) ^ N
) )
2723, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  t )
)  =  ( ( F `  t ) ^ N ) )
2827eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  (
( F `  t
) ^ N )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `
 ( F `  t ) ) )
2928mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  A  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  =  ( t  e.  A  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  t )
) ) )
3011, 29eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x ) ^ N
) )  =  ( t  e.  A  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  t )
) ) )
31 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
3220adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
3331, 32jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  e.  CC  /\  N  e.  NN0 ) )
34 expcl 11137 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( x ^ N
)  e.  CC )
3533, 34syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ N )  e.  CC )
3635, 25fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) : CC --> CC )
3736, 14jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) : CC --> CC  /\  F : A --> CC ) )
38 fcompt 5710 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) : CC --> CC  /\  F : A --> CC )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  =  ( t  e.  A  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `
 ( F `  t ) ) ) )
3937, 38syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  =  ( t  e.  A  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  t )
) ) )
4039eqcomd 2301 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  A  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  ( F `  t ) ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  o.  F
) )
4130, 40eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x ) ^ N
) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  o.  F
) )
42 expcncf 27826 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
4320, 42syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
4412, 43cncfco 18427 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  e.  ( A -cn-> CC ) )
4541, 44eqeltrd 2370 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x ) ^ N
) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419    e. cmpt 4093    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   NN0cn0 9981   ^cexp 11120   -cn->ccncf 18396
This theorem is referenced by:  ibliccsinexp  27848  itgsinexplem1  27851  itgsinexp  27852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398
  Copyright terms: Public domain W3C validator