Theorem expcnvlem1 7227

Description: Lemma for expcnv 7233. Convert an antecedent from a comparison with a real into comparison with a natural number.

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvlem1.1	|- A e. RR
expcnvlem1.2	|- (y e. NN -> (A < y -> ph))

Assertion

Ref	Expression
expcnvlem1	|- E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> ph)

Distinct variable groups:   ph,x   x,y,A

Proof of Theorem expcnvlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcnvlem1.1	. . . . 5 |- A e. RR
2		flclt 6226	. . . . 5 |- (A e. RR -> (|_` A) e. ZZ)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- (|_` A) e. ZZ
4		nn0absclt 6879	. . . 4 |- ((|_` A) e. ZZ -> (abs` (|_` A)) e. NN0)
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 |- (abs` (|_` A)) e. NN0
6		nn0p1nnt 6175	. . 3 |- ((abs` (|_` A)) e. NN0 -> ((abs` (|_` A)) + 1) e. NN)
7	5, 6	ax-mp 7	. 2 |- ((abs` (|_` A)) + 1) e. NN
8		nnret 5929	. . . . . 6 |- (y e. NN -> y e. RR)
9		flltp1t 6230	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> A < ((|_` A) + 1))
10	1, 9	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- A < ((|_` A) + 1)
11		flreclt 6227	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> (|_` A) e. RR)
12	1, 11	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (|_` A) e. RR
13	12	leabs 6872	. . . . . . . . 9 |- (|_` A) <_ (abs` (|_` A))
14	12	recn 5314	. . . . . . . . . . 11 |- (|_` A) e. CC
15	14	abscl 6839	. . . . . . . . . 10 |- (abs` (|_` A)) e. RR
16		1re 5435	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
17	12, 15, 16	leadd1 5592	. . . . . . . . 9 |- ((|_` A) <_ (abs` (|_` A)) <-> ((|_` A) + 1) <_ ((abs` (|_` A)) + 1))
18	13, 17	mpbi 189	. . . . . . . 8 |- ((|_` A) + 1) <_ ((abs` (|_` A)) + 1)
19	12, 16	readdcl 5334	. . . . . . . . 9 |- ((|_` A) + 1) e. RR
20	15, 16	readdcl 5334	. . . . . . . . 9 |- ((abs` (|_` A)) + 1) e. RR
21	1, 19, 20	ltletr 5587	. . . . . . . 8 |- ((A < ((|_` A) + 1) /\ ((|_` A) + 1) <_ ((abs` (|_` A)) + 1)) -> A < ((abs` (|_` A)) + 1))
22	10, 18, 21	mp2an 697	. . . . . . 7 |- A < ((abs` (|_` A)) + 1)
23		ltletrt 5524	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ ((abs` (|_` A)) + 1) e. RR /\ y e. RR) -> ((A < ((abs` (|_` A)) + 1) /\ ((abs` (|_` A)) + 1) <_ y) -> A < y))
24	1, 20, 23	mp3an12 906	. . . . . . 7 |- (y e. RR -> ((A < ((abs` (|_` A)) + 1) /\ ((abs` (|_` A)) + 1) <_ y) -> A < y))
25	22, 24	mpani 698	. . . . . 6 |- (y e. RR -> (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> A < y))
26	8, 25	syl 10	. . . . 5 |- (y e. NN -> (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> A < y))
27	26	imim1d 28	. . . 4 |- (y e. NN -> ((A < y -> ph) -> (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> ph)))
28	27	r19.20i 1704	. . 3 |- (A.y e. NN (A < y -> ph) -> A.y e. NN (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> ph))
29		expcnvlem1.2	. . 3 |- (y e. NN -> (A < y -> ph))
30	28, 29	mprg 1700	. 2 |- A.y e. NN (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> ph)
31		breq1 2622	. . . . 5 |- (x = ((abs` (|_` A)) + 1) -> (x <_ y <-> ((abs` (|_` A)) + 1) <_ y))
32	31	imbi1d 613	. . . 4 |- (x = ((abs` (|_` A)) + 1) -> ((x <_ y -> ph) <-> (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> ph)))
33	32	ralbidv 1663	. . 3 |- (x = ((abs` (|_` A)) + 1) -> (A.y e. NN (x <_ y -> ph) <-> A.y e. NN (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> ph)))
34	33	rcla4ev 1877	. 2 |- ((((abs` (|_` A)) + 1) e. NN /\ A.y e. NN (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> ph)) -> E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> ph))
35	7, 30, 34	mp2an 697	1 |- E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> ph)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  1c1 5235   + caddc 5237   <_ cle 5295  NNcn 5296  NN0cn0 5297  ZZcz 5298   < clt 5486  |_cfl 6223  abscabs 6750

This theorem is referenced by:  expcnvlem4 7230

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754

Copyright terms: Public domain