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Theorem expdiophlem1 26990
Description: Lemma for expdioph 26992. Fully expanded expression for exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expdiophlem1  |-  ( C  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  C  =  ( A ^ B ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d,
e, f    B, d,
e, f    C, d,
e, f

Proof of Theorem expdiophlem1
StepHypRef Expression
1 2re 10033 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
3 nnre 9971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
4 peano2re 9203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
65adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
7 nnz 10267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
87peano2zd 10342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
9 frmy 26875 . . . . . . . . . . . . 13  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
109fovcl 6142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( B  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ZZ )
118, 10sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  ZZ )
1211zred 10339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  RR )
13 elnnuz 10486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  <->  B  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
14 eluzp1p1 10475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
15 df-2 10022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1615fveq2i 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
1714, 16syl6eleqr 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1813, 17sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
19 eluzle 10462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  ( B  +  1 ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  2  <_  ( B  +  1 ) )
2120adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  2  <_  ( B  +  1 ) )
22 nnnn0 10192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
23 peano2nn0 10224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( B  +  1 )  e. 
NN0 )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  NN0 )
25 rmygeid 26927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( B  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( B  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
2624, 25sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
272, 6, 12, 21, 26letrd 9191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  2  <_  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )
28 2z 10276 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
29 eluz 10463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  2  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) )
3028, 11, 29sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  2  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) )
3127, 30mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
3231adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
33 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
34 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  B  e.  NN )
3512leidd 9557 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
3635adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
37 jm3.1 26989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  ->  ( A ^ B )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
3832, 33, 34, 36, 37syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A ^ B )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
3938eqeq2d 2423 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( A ^ B )  <->  C  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) ) )
407adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
41 frmx 26874 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
4241fovcl 6142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  e.  NN0 )
4331, 40, 42syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  e.  NN0 )
4443nn0zd 10337 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  e.  ZZ )
45 eluzelz 10460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
4645adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
4711, 46zsubcld 10344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  e.  ZZ )
489fovcl 6142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  e.  ZZ )
4931, 40, 48syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  e.  ZZ )
5047, 49zmulcld 10345 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) )  e.  ZZ )
5144, 50zsubcld 10344 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) )  e.  ZZ )
5251adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  e.  ZZ )
5332, 33, 34, 36jm3.1lem3 26988 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  NN )
54 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  C  e.  NN0 )
55 divalgmodcl 26956 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( C  =  ( (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 ) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
5652, 53, 54, 55syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) )  <->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
5739, 56bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( A ^ B )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
58 rmynn0 26920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( B  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e. 
NN0 )
5924, 58sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  NN0 )
6059adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  NN0 )
61 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d Yrm  B )  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) )
6261eqeq2d 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( e  =  ( d Yrm  B )  <->  e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )
63 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d Xrm  B )  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B ) )
6463eqeq2d 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( f  =  ( d Xrm  B )  <->  f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B ) ) )
65 oveq2 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  d )  =  ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) )
6665oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( 2  x.  d )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A ) )
6766oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) ) )
6867oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 ) )
6968breq2d 4192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  <-> 
C  <  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
70 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d  -  A )  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A ) )
7170oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( d  -  A )  x.  e )  =  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )
7271oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  =  ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  e
) ) )
7372oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C )  =  ( ( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) )
7468, 73breq12d 4193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
)  <->  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )
7569, 74anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )
7664, 75anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )
7776rexbidv 2695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )
7862, 77anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
7978rexbidv 2695 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( E. e  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
8079ceqsrexv 3037 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  NN0  ->  ( E. d  e. 
NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
8160, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. d  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e. 
NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
8222ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  B  e.  NN0 )
83 rmynn0 26920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  e.  NN0 )
8432, 82, 83syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  e. 
NN0 )
85 oveq2 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e )  =  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )
8685oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  e
) )  =  ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) ) )
8786oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C )  =  ( ( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )
8887breq2d 4192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C )  <->  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )
8988anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( C  <  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
9089anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
9190rexbidv 2695 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  ( E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
9291ceqsrexv 3037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  e.  NN0  ->  ( E. e  e.  NN0  (
e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
9384, 92syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
947ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  B  e.  ZZ )
9532, 94, 42syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  e. 
NN0 )
96 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) ) )
9796oveq1d 6063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )
9897breq2d 4192 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C )  <->  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )
9998anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
( C  <  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
10099ceqsrexv 3037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  e.  NN0  ->  ( E. f  e.  NN0  (
f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )  <->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
10195, 100syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )  <->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
10281, 93, 1013bitrrd 272 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
103 r19.42v 2830 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. f  e.  NN0  (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. f  e. 
NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
104 r19.42v 2830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  NN0  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )
105104anbi2i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. f  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
106103, 105bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  NN0  (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
107106rexbii 2699 . . . . . . . 8  |-  ( E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
108 r19.42v 2830 . . . . . . . 8  |-  ( E. e  e.  NN0  (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e. 
NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
109107, 108bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
110109rexbii 2699 . . . . . 6  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
111102, 110syl6bbr 255 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) )
112 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
11332, 112syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  d  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
114113imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  ->  d  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
115 ibar 491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( e  =  ( d Yrm  B )  <-> 
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) ) ) )
116 ibar 491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( f  =  ( d Xrm  B )  <-> 
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) ) ) )
117116anbi1d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )
118115, 117anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
119114, 118syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  ->  ( ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
120119pm5.32da 623 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
121 ibar 491 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <-> 
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) ) )
122121ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <-> 
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) ) )
123122anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
124120, 123bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) )
125124rexbidv 2695 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
1261252rexbidv 2717 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
127111, 126bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
12857, 127bitrd 245 . . 3  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( A ^ B )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e. 
NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
129128pm5.32da 623 . 2  |-  ( C  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  C  =  ( A ^ B ) )  <-> 
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e. 
NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) ) )
130 r19.42v 2830 . . . 4  |-  ( E. f  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) )
1311302rexbii 2701 . . 3  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
132 r19.42v 2830 . . . . 5  |-  ( E. e  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
133132rexbii 2699 . . . 4  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. e  e. 
NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
134 r19.42v 2830 . . . 4  |-  ( E. d  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
135133, 134bitri 241 . . 3  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e.  NN0  E. e  e. 
NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
136131, 135bitri 241 . 2  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
137129, 136syl6bbr 255 1  |-  ( C  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  C  =  ( A ^ B ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2675   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255   NNcn 9964   2c2 10013   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452    mod cmo 11213   ^cexp 11345    || cdivides 12815   Xrm crmx 26861   Yrm crmy 26862
This theorem is referenced by:  expdiophlem2  26991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-numer 13090  df-denom 13091  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415  df-squarenn 26802  df-pell1qr 26803  df-pell14qr 26804  df-pell1234qr 26805  df-pellfund 26806  df-rmx 26863  df-rmy 26864
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