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Theorem expdiophlem1 26620
Description: Lemma for expdioph 26622. Fully expanded expression for exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expdiophlem1  |-  ( C  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  C  =  ( A ^ B ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d,
e, f    B, d,
e, f    C, d,
e, f

Proof of Theorem expdiophlem1
StepHypRef Expression
1 2re 9962 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
21a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
3 nnre 9900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
4 peano2re 9132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
53, 4syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
65adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
7 nnz 10196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
87peano2zd 10271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
9 frmy 26505 . . . . . . . . . . . . 13  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
109fovcl 6075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( B  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ZZ )
118, 10sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  ZZ )
1211zred 10268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  RR )
13 elnnuz 10415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  <->  B  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
14 eluzp1p1 10404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
15 df-2 9951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1615fveq2i 5635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
1714, 16syl6eleqr 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1813, 17sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
19 eluzle 10391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  ( B  +  1 ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  2  <_  ( B  +  1 ) )
2120adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  2  <_  ( B  +  1 ) )
22 nnnn0 10121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
23 peano2nn0 10153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( B  +  1 )  e. 
NN0 )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  NN0 )
25 rmygeid 26557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( B  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( B  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
2624, 25sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
272, 6, 12, 21, 26letrd 9120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  2  <_  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )
28 2z 10205 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
29 eluz 10392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  2  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) )
3028, 11, 29sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  2  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) )
3127, 30mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
3231adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
33 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
34 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  B  e.  NN )
3512leidd 9486 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
3635adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
37 jm3.1 26619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  ->  ( A ^ B )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
3832, 33, 34, 36, 37syl31anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A ^ B )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
3938eqeq2d 2377 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( A ^ B )  <->  C  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) ) )
407adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
41 frmx 26504 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
4241fovcl 6075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  e.  NN0 )
4331, 40, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  e.  NN0 )
4443nn0zd 10266 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  e.  ZZ )
45 eluzelz 10389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
4645adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
4711, 46zsubcld 10273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  e.  ZZ )
489fovcl 6075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  e.  ZZ )
4931, 40, 48syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  e.  ZZ )
5047, 49zmulcld 10274 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) )  e.  ZZ )
5144, 50zsubcld 10273 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) )  e.  ZZ )
5251adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  e.  ZZ )
5332, 33, 34, 36jm3.1lem3 26618 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  NN )
54 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  C  e.  NN0 )
55 divalgmodcl 26586 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( C  =  ( (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 ) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
5652, 53, 54, 55syl3anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) )  <->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
5739, 56bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( A ^ B )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
58 rmynn0 26550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( B  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e. 
NN0 )
5924, 58sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  NN0 )
6059adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  NN0 )
61 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d Yrm  B )  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) )
6261eqeq2d 2377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( e  =  ( d Yrm  B )  <->  e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )
63 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d Xrm  B )  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B ) )
6463eqeq2d 2377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( f  =  ( d Xrm  B )  <->  f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B ) ) )
65 oveq2 5989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  d )  =  ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) )
6665oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( 2  x.  d )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A ) )
6766oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) ) )
6867oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 ) )
6968breq2d 4137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  <-> 
C  <  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
70 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d  -  A )  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A ) )
7170oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( d  -  A )  x.  e )  =  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )
7271oveq2d 5997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  =  ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  e
) ) )
7372oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C )  =  ( ( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) )
7468, 73breq12d 4138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
)  <->  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )
7569, 74anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )
7664, 75anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )
7776rexbidv 2649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )
7862, 77anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
7978rexbidv 2649 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( E. e  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
8079ceqsrexv 2986 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  NN0  ->  ( E. d  e. 
NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
8160, 80syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. d  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e. 
NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
8222ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  B  e.  NN0 )
83 rmynn0 26550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  e.  NN0 )
8432, 82, 83syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  e. 
NN0 )
85 oveq2 5989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e )  =  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )
8685oveq2d 5997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  e
) )  =  ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) ) )
8786oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C )  =  ( ( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )
8887breq2d 4137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C )  <->  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )
8988anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( C  <  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
9089anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
9190rexbidv 2649 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  ( E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
9291ceqsrexv 2986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  e.  NN0  ->  ( E. e  e.  NN0  (
e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
9384, 92syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
947ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  B  e.  ZZ )
9532, 94, 42syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  e. 
NN0 )
96 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) ) )
9796oveq1d 5996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )
9897breq2d 4137 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C )  <->  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )
9998anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
( C  <  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
10099ceqsrexv 2986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  e.  NN0  ->  ( E. f  e.  NN0  (
f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )  <->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
10195, 100syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )  <->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
10281, 93, 1013bitrrd 271 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
103 r19.42v 2779 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. f  e.  NN0  (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. f  e. 
NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
104 r19.42v 2779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  NN0  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )
105104anbi2i 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. f  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
106103, 105bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  NN0  (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
107106rexbii 2653 . . . . . . . 8  |-  ( E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
108 r19.42v 2779 . . . . . . . 8  |-  ( E. e  e.  NN0  (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e. 
NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
109107, 108bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
110109rexbii 2653 . . . . . 6  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
111102, 110syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) )
112 eleq1 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
11332, 112syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  d  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
114113imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  ->  d  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
115 ibar 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( e  =  ( d Yrm  B )  <-> 
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) ) ) )
116 ibar 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( f  =  ( d Xrm  B )  <-> 
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) ) ) )
117116anbi1d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )
118115, 117anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
119114, 118syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  ->  ( ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
120119pm5.32da 622 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
121 ibar 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <-> 
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) ) )
122121ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <-> 
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) ) )
123122anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
124120, 123bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) )
125124rexbidv 2649 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
1261252rexbidv 2671 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
127111, 126bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
12857, 127bitrd 244 . . 3  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( A ^ B )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e. 
NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
129128pm5.32da 622 . 2  |-  ( C  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  C  =  ( A ^ B ) )  <-> 
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e. 
NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) ) )
130 r19.42v 2779 . . . 4  |-  ( E. f  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) )
1311302rexbii 2655 . . 3  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
132 r19.42v 2779 . . . . 5  |-  ( E. e  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
133132rexbii 2653 . . . 4  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. e  e. 
NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
134 r19.42v 2779 . . . 4  |-  ( E. d  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
135133, 134bitri 240 . . 3  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e.  NN0  E. e  e. 
NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
136131, 135bitri 240 . 2  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
137129, 136syl6bbr 254 1  |-  ( C  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  C  =  ( A ^ B ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   E.wrex 2629   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   RRcr 8883   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184   NNcn 9893   2c2 9942   NN0cn0 10114   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381    mod cmo 11137   ^cexp 11269    || cdivides 12739   Xrm crmx 26491   Yrm crmy 26492
This theorem is referenced by:  expdiophlem2  26621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-acn 7722  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ioc 10814  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-fac 11454  df-bc 11481  df-hash 11506  df-shft 11769  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-limsup 12152  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-ef 12557  df-sin 12559  df-cos 12560  df-pi 12562  df-dvds 12740  df-gcd 12894  df-numer 13014  df-denom 13015  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-lp 17085  df-perf 17086  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-haus 17260  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cncf 18596  df-limc 19431  df-dv 19432  df-log 20132  df-squarenn 26432  df-pell1qr 26433  df-pell14qr 26434  df-pell1234qr 26435  df-pellfund 26436  df-rmx 26493  df-rmy 26494
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