MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expge1 Structured version   Unicode version

Theorem expge1 11410
Description: Nonnegative integer exponentiation with a mantissa greater than or equal to 1 is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  ( A ^ N
) )

Proof of Theorem expge1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4209 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
1  <_  z  <->  1  <_  A ) )
21elrab 3085 . . . . 5  |-  ( A  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  <->  ( A  e.  RR  /\  1  <_  A ) )
3 ssrab2 3421 . . . . . . 7  |-  { z  e.  RR  |  1  <_  z }  C_  RR
4 ax-resscn 9040 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3350 . . . . . 6  |-  { z  e.  RR  |  1  <_  z }  C_  CC
6 breq2 4209 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
1  <_  z  <->  1  <_  x ) )
76elrab 3085 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
8 breq2 4209 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
1  <_  z  <->  1  <_  y ) )
98elrab 3085 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  <->  ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y ) )
10 remulcl 9068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
1110ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( x  x.  y )  e.  RR )
12 1t1e1 10119 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
13 1re 9083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
14 0le1 9544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  1
1513, 14pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )
1615jctl 526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  x  e.  RR ) )
1715jctl 526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  y  e.  RR ) )
18 lemul12a 9861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 )  /\  x  e.  RR )  /\  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  y  e.  RR ) )  ->  (
( 1  <_  x  /\  1  <_  y )  ->  ( 1  x.  1 )  <_  (
x  x.  y ) ) )
1916, 17, 18syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( 1  <_  x  /\  1  <_  y
)  ->  ( 1  x.  1 )  <_ 
( x  x.  y
) ) )
2019imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( 1  <_  x  /\  1  <_  y
) )  ->  (
1  x.  1 )  <_  ( x  x.  y ) )
2112, 20syl5eqbrr 4239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( 1  <_  x  /\  1  <_  y
) )  ->  1  <_  ( x  x.  y
) )
2221an4s 800 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  1  <_  ( x  x.  y ) )
23 breq2 4209 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  x.  y )  ->  (
1  <_  z  <->  1  <_  ( x  x.  y ) ) )
2423elrab 3085 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  y )  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  <->  ( (
x  x.  y )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  x.  y
) ) )
2511, 22, 24sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( x  x.  y )  e.  {
z  e.  RR  | 
1  <_  z }
)
267, 9, 25syl2anb 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  RR  |  1  <_  z }  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z } )  -> 
( x  x.  y
)  e.  { z  e.  RR  |  1  <_  z } )
27 1le1 9643 . . . . . . 7  |-  1  <_  1
28 breq2 4209 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
1  <_  z  <->  1  <_  1 ) )
2928elrab 3085 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  <->  ( 1  e.  RR  /\  1  <_  1 ) )
3013, 27, 29mpbir2an 887 . . . . . 6  |-  1  e.  { z  e.  RR  |  1  <_  z }
315, 26, 30expcllem 11385 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  { z  e.  RR  |  1  <_  z }  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  { z  e.  RR  |  1  <_  z } )
322, 31sylanbr 460 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A ^ N )  e.  {
z  e.  RR  | 
1  <_  z }
)
33323impa 1148 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A ^ N )  e. 
{ z  e.  RR  |  1  <_  z } )
34333com23 1159 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  A )  ->  ( A ^ N )  e. 
{ z  e.  RR  |  1  <_  z } )
35 breq2 4209 . . . 4  |-  ( z  =  ( A ^ N )  ->  (
1  <_  z  <->  1  <_  ( A ^ N ) ) )
3635elrab 3085 . . 3  |-  ( ( A ^ N )  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  <->  ( ( A ^ N )  e.  RR  /\  1  <_ 
( A ^ N
) ) )
3736simprbi 451 . 2  |-  ( ( A ^ N )  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  ->  1  <_  ( A ^ N
) )
3834, 37syl 16 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  ( A ^ N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   {crab 2702   class class class wbr 4205  (class class class)co 6074   CCcc 8981   RRcr 8982   0cc0 8983   1c1 8984    x. cmul 8988    <_ cle 9114   NN0cn0 10214   ^cexp 11375
This theorem is referenced by:  expgt1  11411  leexp2a  11428  expge1d  11535
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-seq 11317  df-exp 11376
  Copyright terms: Public domain W3C validator