Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expghm Structured version   Unicode version

Theorem expghm 16779
 Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expghm.1 flds
expghm.2 mulGrpfld
expghm.3 s
Assertion
Ref Expression
expghm
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem expghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expclzlem 11407 . . . 4
213expa 1154 . . 3
3 eqid 2438 . . 3
42, 3fmptd 5895 . 2
5 expaddz 11426 . . . 4
6 zaddcl 10319 . . . . . 6
76adantl 454 . . . . 5
8 oveq2 6091 . . . . . 6
9 ovex 6108 . . . . . 6
108, 3, 9fvmpt 5808 . . . . 5
117, 10syl 16 . . . 4
12 oveq2 6091 . . . . . . 7
13 ovex 6108 . . . . . . 7
1412, 3, 13fvmpt 5808 . . . . . 6
15 oveq2 6091 . . . . . . 7
16 ovex 6108 . . . . . . 7
1715, 3, 16fvmpt 5808 . . . . . 6
1814, 17oveqan12d 6102 . . . . 5
1918adantl 454 . . . 4
205, 11, 193eqtr4d 2480 . . 3
2120ralrimivva 2800 . 2
22 zsubrg 16754 . . . . . 6 SubRingfld
23 subrgsubg 15876 . . . . . 6 SubRingfld SubGrpfld
2422, 23ax-mp 8 . . . . 5 SubGrpfld
25 expghm.1 . . . . . 6 flds
2625subggrp 14949 . . . . 5 SubGrpfld
2724, 26ax-mp 8 . . . 4
28 cnrng 16725 . . . . 5 fld
29 cnfldbas 16709 . . . . . . 7 fld
30 cnfld0 16727 . . . . . . 7 fld
31 cndrng 16732 . . . . . . 7 fld
3229, 30, 31drngui 15843 . . . . . 6 Unitfld
33 expghm.3 . . . . . . 7 s
34 expghm.2 . . . . . . . 8 mulGrpfld
3534oveq1i 6093 . . . . . . 7 s mulGrpflds
3633, 35eqtri 2458 . . . . . 6 mulGrpflds
3732, 36unitgrp 15774 . . . . 5 fld
3828, 37ax-mp 8 . . . 4
3927, 38pm3.2i 443 . . 3
4025subrgbas 15879 . . . . 5 SubRingfld
4122, 40ax-mp 8 . . . 4
42 difss 3476 . . . . 5
4334, 29mgpbas 15656 . . . . . 6
4433, 43ressbas2 13522 . . . . 5
4542, 44ax-mp 8 . . . 4
46 cnfldadd 16710 . . . . . 6 fld
4725, 46ressplusg 13573 . . . . 5 SubRingfld
4822, 47ax-mp 8 . . . 4
49 fvex 5744 . . . . . 6 Unitfld
5032, 49eqeltri 2508 . . . . 5
51 cnfldmul 16711 . . . . . . 7 fld
5234, 51mgpplusg 15654 . . . . . 6
5333, 52ressplusg 13573 . . . . 5
5450, 53ax-mp 8 . . . 4
5541, 45, 48, 54isghm 15008 . . 3
5639, 55mpbiran 886 . 2
574, 21, 56sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322  csn 3816   cmpt 4268  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cc0 8992   caddc 8995   cmul 8997  cz 10284  cexp 11384  cbs 13471   ↾s cress 13472   cplusg 13531  cgrp 14687  SubGrpcsubg 14940   cghm 15005  mulGrpcmgp 15650  crg 15662  Unitcui 15746  SubRingcsubrg 15866  ℂfldccnfld 16705 This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  21138 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cmn 15416  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-drng 15839  df-subrg 15868  df-cnfld 16706
 Copyright terms: Public domain W3C validator