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Theorem expgrowth 27531
Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 27529 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives.

Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant λ.

Here y' is given as  ( S  _D  Y
), C as  c, and ky as  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ).  ( S  X.  { K } ) is the constant function that maps any real or complex input to k and  o F  x. is multiplication as a function operation.

The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case.

Statements for this and expgrowthi 27529 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
expgrowth.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
expgrowth.k  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
expgrowth.y  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
expgrowth.dy  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  Y )  =  S )
Assertion
Ref Expression
expgrowth  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, c, K    S, c, t    Y, c
Allowed substitution hints:    ph( t, c)    Y( t)

Proof of Theorem expgrowth
Dummy variables  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowth.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 cnex 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  CC  e.  _V
32prid2 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
5 expgrowth.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
6 recnprss 19793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
71, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
87sseld 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  ->  u  e.  CC ) )
9 mulcl 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( K  x.  u
)  e.  CC )
105, 8, 9ee12an 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  ->  ( K  x.  u
)  e.  CC ) )
1110imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( K  x.  u )  e.  CC )
1211negcld 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  -u ( K  x.  u )  e.  CC )
135negcld 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
-u K  e.  CC )
1413adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  -u K  e.  CC )
15 efcl 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
1615adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
175adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  K  e.  CC )
188imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  u  e.  CC )
19 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  1  e.  CC )
211dvmptid 19845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  u ) )  =  ( u  e.  S  |->  1 ) )
221, 18, 20, 21, 5dvmptcmul 19852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( K  x.  u ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( K  x.  1 ) ) )
235mulid1d 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K  x.  1 )  =  K )
2423mpteq2dv 4298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( K  x.  1 ) )  =  ( u  e.  S  |->  K ) )
2522, 24eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( K  x.  u ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  K ) )
261, 11, 17, 25dvmptneg 19854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  -u ( K  x.  u
) ) )  =  ( u  e.  S  |-> 
-u K ) )
27 dvef 19866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
28 eff 12686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  exp : CC
--> CC
29 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  exp  Fn  CC
31 dffn5 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( exp 
Fn  CC  <->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
3230, 31mpbi 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )
3332oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( CC 
_D  exp )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
3427, 33, 323eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
36 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  -u ( K  x.  u )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )
371, 4, 12, 14, 16, 16, 26, 35, 36, 36dvmptco 19860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) )
3837oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) )
39 expgrowth.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
40 efcl 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u ( K  x.  u
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  e.  CC )
4112, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  e.  CC )
4241, 14mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
)  e.  CC )
43 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) )
4442, 43fmptd 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) : S --> CC )
4537feq1d 5582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) : S --> CC  <->  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) : S --> CC ) )
4644, 45mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) : S --> CC )
47 mulcom 9078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
4847adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
491, 39, 46, 48caofcom 6338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  x.  Y ) )
5038, 49eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  x.  -u K ) ) )  =  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  x.  Y ) )
5150oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  x.  Y ) ) )
52 fconst6g 5634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u K  e.  CC  ->  ( S  X.  { -u K } ) : S --> CC )
5313, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { -u K } ) : S --> CC )
54 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )
5541, 54fmptd 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> CC )
561, 53, 55, 48caofcom 6338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  o F  x.  ( S  X.  { -u K } ) ) )
57 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  =  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )
58 fconstmpt 4923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  X.  { -u K } )  =  ( u  e.  S  |->  -u K )
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { -u K } )  =  ( u  e.  S  |-> 
-u K ) )
601, 41, 14, 57, 59offval2 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  o F  x.  ( S  X.  { -u K } ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) )
6156, 60eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) )
6261oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) )
6362oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) ) )
64 expgrowth.dy . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  Y )  =  S )
6537dmeqd 5074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  dom  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  x.  -u K ) ) )
66 fdm 5597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) : S --> CC  ->  dom  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) )  =  S )
6744, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  x.  -u K ) )  =  S )
6865, 67eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  S )
691, 39, 55, 64, 68dvmulf 19831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  x.  Y ) ) )
7051, 63, 693eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  (
( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
71 ofmul12 27521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  Y : S --> CC )  /\  ( ( S  X.  { -u K } ) : S --> CC  /\  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> CC ) )  ->  ( Y  o F  x.  (
( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
721, 39, 53, 55, 71syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
7372oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
7470, 73eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
75 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  ->  (
( S  _D  Y
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
7675oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  ->  (
( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
7774, 76sylan9eq 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
78 mulass 9080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  z )  =  ( x  x.  ( y  x.  z
) ) )
7978adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  x.  y )  x.  z
)  =  ( x  x.  ( y  x.  z ) ) )
801, 53, 39, 55, 79caofass 6340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
8180oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
8281eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) ) )
8382adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  <-> 
( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) ) )
8477, 83mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
85 mulcl 9076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
8685adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
87 fconst6g 5634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  CC  ->  ( S  X.  { K }
) : S --> CC )
885, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { K } ) : S --> CC )
89 inidm 3552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  i^i  S )  =  S
9086, 88, 39, 1, 1, 89off 6322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC )
9186, 53, 39, 1, 1, 89off 6322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y
) : S --> CC )
92 adddir 9085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  x.  z )  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z
) ) )
9392adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  y )  x.  z
)  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z ) ) )
941, 55, 90, 91, 93caofdir 6343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
9594eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
9695adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
9784, 96mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
98 ofnegsub 10000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC  /\  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC )  -> 
( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
991, 90, 90, 98syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
100 neg1cn 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u 1  e.  CC
101100fconst6 5635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  X.  { -u 1 } ) : S --> CC
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { -u 1 } ) : S --> CC )
1031, 102, 88, 39, 79caofass 6340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K } ) )  o F  x.  Y
)  =  ( ( S  X.  { -u
1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
104100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
1051, 104, 5ofc12 6331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K }
) )  =  ( S  X.  { (
-u 1  x.  K
) } ) )
1065mulm1d 9487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  K )  =  -u K )
107106sneqd 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { ( -u 1  x.  K ) }  =  { -u K } )
108107xpeq2d 4904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  X.  {
( -u 1  x.  K
) } )  =  ( S  X.  { -u K } ) )
109105, 108eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K }
) )  =  ( S  X.  { -u K } ) )
110109oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K } ) )  o F  x.  Y
)  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )
111103, 110eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )
112111oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) ) )
113 ofsubid 27520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC )  -> 
( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
1141, 90, 113syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
11599, 112, 1143eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
116115oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
117116eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
118117adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
11997, 118mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
120 0cn 9086 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
121120a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
122 mul02 9246 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
123122adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0  x.  x )  =  0 )
1241, 55, 121, 121, 123caofid2 6337 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
125124adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
126119, 125eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
1271adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
12886, 39, 55, 1, 1, 89off 6322 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) : S --> CC )
129128adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) : S --> CC )
130126dmeqd 5074 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  dom  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  dom  ( S  X.  { 0 } ) )
131120fconst6 5635 . . . . . . . . 9  |-  ( S  X.  { 0 } ) : S --> CC
132131fdmi 5598 . . . . . . . 8  |-  dom  ( S  X.  { 0 } )  =  S
133130, 132syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  dom  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  S )
134127, 129, 133dvconstbi 27530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
) ) )
135126, 134mpbid 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } ) )
136 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } )  -> 
( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
137 efne0 12700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u ( K  x.  u
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  =/=  0 )
138 eldifsn 3929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  e.  CC  /\  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )
13940, 137, 138sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( K  x.  u
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
14012, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
141140, 54fmptd 5895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> ( CC  \  { 0 } ) )
142 ofdivcan4 27523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  Y : S --> CC  /\  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  Y )
1431, 39, 141, 142syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  Y )
144143eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  Y  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
145136, 144syl5ib 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
)  ->  Y  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
146145adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } )  ->  Y  =  ( ( S  X.  { x }
)  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
147 vex 2961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  x  e.  _V )
149 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  e.  _V
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) )  e. 
_V )
151 fconstmpt 4923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  X.  { x }
)  =  ( u  e.  S  |->  x )
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  X.  {
x } )  =  ( u  e.  S  |->  x ) )
153 efneg 12701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
15411, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
155154mpteq2dva 4297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  =  ( u  e.  S  |->  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )
1561, 148, 150, 152, 155offval2 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
157156adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
158 efcl 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  e.  CC )
159 efne0 12700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 )
160158, 159jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  (
( exp `  ( K  x.  u )
)  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )
16111, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( exp `  ( K  x.  u )
)  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )
162 ax-1ne0 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =/=  0
16319, 162pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )
164 divdiv2 9728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  /\  ( ( exp `  ( K  x.  u
) )  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u )
)  =/=  0 ) )  ->  ( x  /  ( 1  / 
( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  /  1
) )
165163, 164mp3an2 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( exp `  ( K  x.  u )
)  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )  ->  ( x  / 
( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) )  / 
1 ) )
166161, 165sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  =  ( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  /  1
) )
16711, 158syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  e.  CC )
168 mulcl 9076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  e.  CC )  -> 
( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) )  e.  CC )
169167, 168sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) )  e.  CC )
170169div1d 9784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  /  1
)  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )
171166, 170eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )
172171ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  S )  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  /  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
173172an32s 781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  u  e.  S )  ->  (
x  /  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
174173mpteq2dva 4297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( u  e.  S  |->  ( x  /  ( 1  / 
( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) )
175157, 174eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) )
176175eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( Y  =  ( ( S  X.  { x }
)  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
177146, 176sylibd 207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } )  ->  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
178177reximdva 2820 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
)  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
179178adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
)  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
180135, 179mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) )
181180ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
1821adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1835adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  ->  K  e.  CC )
184 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
185 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
186182, 183, 184, 185expgrowthi 27529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  -> 
( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
1871863impb 1150 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
188 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  -> 
( S  _D  Y
)  =  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
189 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  -> 
( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  =  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
190188, 189eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  -> 
( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
1911903ad2ant3 981 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <-> 
( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
192187, 191mpbird 225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )
193192rexlimdv3a 2834 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
194181, 193impbid 185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
195 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  t  ->  ( K  x.  u )  =  ( K  x.  t ) )
196195fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( u  =  t  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =  ( exp `  ( K  x.  t )
) )
197196oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( u  =  t  ->  (
x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
198197cbvmptv 4302 . . . . 5  |-  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( t  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
199 oveq1 6090 . . . . . 6  |-  ( x  =  c  ->  (
x  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) )  =  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
200199mpteq2dv 4298 . . . . 5  |-  ( x  =  c  ->  (
t  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) )  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t )
) ) ) )
201198, 200syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( x  =  c  ->  (
u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t )
) ) ) )
202201eqeq2d 2449 . . 3  |-  ( x  =  c  ->  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  <->  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) ) ) )
203202cbvrexv 2935 . 2  |-  ( E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) ) )
204194, 203syl6bb 254 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   {cpr 3817    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   dom cdm 4880    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    - cmin 9293   -ucneg 9294    / cdiv 9679   expce 12666    _D cdv 19752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756
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