Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expgrowthi Structured version   Unicode version

Theorem expgrowthi 27482
Description: Exponential growth and decay model. See expgrowth 27484 for more information. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expgrowthi.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
expgrowthi.k  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
expgrowthi.y0  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
expgrowthi.yt  |-  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
expgrowthi  |-  ( ph  ->  ( S  _D  Y
)  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )
Distinct variable groups:    t, C    t, K    t, S
Allowed substitution hints:    ph( t)    Y( t)

Proof of Theorem expgrowthi
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowthi.yt . . . . 5  |-  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
2 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  y  ->  ( K  x.  t )  =  ( K  x.  y ) )
32fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( t  =  y  ->  ( exp `  ( K  x.  t ) )  =  ( exp `  ( K  x.  y )
) )
43oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( t  =  y  ->  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) )  =  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y ) ) ) )
54cbvmptv 4292 . . . . 5  |-  ( t  e.  S  |->  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  t )
) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y ) ) ) )
61, 5eqtri 2455 . . . 4  |-  Y  =  ( y  e.  S  |->  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y ) ) ) )
76oveq2i 6084 . . 3  |-  ( S  _D  Y )  =  ( S  _D  (
y  e.  S  |->  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y
) ) ) ) )
8 expgrowthi.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
9 elpri 3826 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
10 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  RR  ->  (
y  e.  S  <->  y  e.  RR ) )
11 recn 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
1210, 11syl6bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  RR  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  CC ) )
13 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  CC  ->  (
y  e.  S  <->  y  e.  CC ) )
1413biimpd 199 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  CC  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  CC ) )
1512, 14jaoi 369 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  =  RR  \/  S  =  CC )  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  CC ) )
168, 9, 153syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  CC ) )
1716imp 419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
18 expgrowthi.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
19 mulcl 9064 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( K  x.  y
)  e.  CC )
2018, 19sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( K  x.  y )  e.  CC )
21 efcl 12675 . . . . . . 7  |-  ( ( K  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( K  x.  y ) )  e.  CC )
2220, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  ( K  x.  y
) )  e.  CC )
2317, 22syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( K  x.  y ) )  e.  CC )
24 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( K  x.  ( exp `  ( K  x.  y )
) )  e.  _V
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( K  x.  ( exp `  ( K  x.  y
) ) )  e. 
_V )
26 cnex 9061 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
2726prid2 3905 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
2917, 20syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( K  x.  y )  e.  CC )
3018adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  CC )
31 efcl 12675 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
3231adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
33 ax-1cn 9038 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3433a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  CC )
358dvmptid 19833 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  S  |->  y ) )  =  ( y  e.  S  |->  1 ) )
368, 17, 34, 35, 18dvmptcmul 19840 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  S  |->  ( K  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( K  x.  1 ) ) )
3718mulid1d 9095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  x.  1 )  =  K )
3837mpteq2dv 4288 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |->  ( K  x.  1 ) )  =  ( y  e.  S  |->  K ) )
3936, 38eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  S  |->  ( K  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  K ) )
40 dvef 19854 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
41 eff 12674 . . . . . . . . . . . 12  |-  exp : CC
--> CC
42 ffn 5583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  exp  Fn  CC
44 dffn5 5764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp 
Fn  CC  <->  exp  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) ) )
4543, 44mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  exp  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) )
4645oveq2i 6084 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
_D  exp )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) ) )
4740, 46, 453eqtr3i 2463 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) )
4847a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) ) )
49 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( K  x.  y )  ->  ( exp `  x )  =  ( exp `  ( K  x.  y )
) )
508, 28, 29, 30, 32, 32, 39, 48, 49, 49dvmptco 19848 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  S  |->  ( exp `  ( K  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( exp `  ( K  x.  y )
)  x.  K ) ) )
51 mulcom 9066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( K  x.  y )
)  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( exp `  ( K  x.  y )
)  x.  K )  =  ( K  x.  ( exp `  ( K  x.  y ) ) ) )
5223, 18, 51syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ph  /\  y  e.  S ) )  ->  ( ( exp `  ( K  x.  y ) )  x.  K )  =  ( K  x.  ( exp `  ( K  x.  y
) ) ) )
5352anabss5 790 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( exp `  ( K  x.  y )
)  x.  K )  =  ( K  x.  ( exp `  ( K  x.  y ) ) ) )
5453mpteq2dva 4287 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |->  ( ( exp `  ( K  x.  y )
)  x.  K ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( K  x.  ( exp `  ( K  x.  y )
) ) ) )
5550, 54eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  S  |->  ( exp `  ( K  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( K  x.  ( exp `  ( K  x.  y
) ) ) ) )
56 expgrowthi.y0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
578, 23, 25, 55, 56dvmptcmul 19840 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  S  |->  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y
) ) ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( C  x.  ( K  x.  ( exp `  ( K  x.  y ) ) ) ) ) )
5856, 18, 233anim123i 1139 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ph  /\  ( ph  /\  y  e.  S
) )  ->  ( C  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  y
) )  e.  CC ) )
59583anidm12 1241 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ph  /\  y  e.  S ) )  ->  ( C  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  y
) )  e.  CC ) )
6059anabss5 790 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( C  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  y
) )  e.  CC ) )
61 mul12 9222 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  y ) )  e.  CC )  ->  ( C  x.  ( K  x.  ( exp `  ( K  x.  y )
) ) )  =  ( K  x.  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y
) ) ) ) )
6260, 61syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( C  x.  ( K  x.  ( exp `  ( K  x.  y )
) ) )  =  ( K  x.  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y
) ) ) ) )
6362mpteq2dva 4287 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |->  ( C  x.  ( K  x.  ( exp `  ( K  x.  y
) ) ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( K  x.  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y ) ) ) ) ) )
6457, 63eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
y  e.  S  |->  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y
) ) ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( K  x.  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y ) ) ) ) ) )
657, 64syl5eq 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  Y
)  =  ( y  e.  S  |->  ( K  x.  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y ) ) ) ) ) )
66 ovex 6098 . . . 4  |-  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y )
) )  e.  _V
6766a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y
) ) )  e. 
_V )
68 fconstmpt 4913 . . . 4  |-  ( S  X.  { K }
)  =  ( y  e.  S  |->  K )
6968a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { K } )  =  ( y  e.  S  |->  K ) )
706a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =  ( y  e.  S  |->  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y )
) ) ) )
718, 30, 67, 69, 70offval2 6314 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  =  ( y  e.  S  |->  ( K  x.  ( C  x.  ( exp `  ( K  x.  y ) ) ) ) ) )
7265, 71eqtr4d 2470 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  Y
)  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806   {cpr 3807    e. cmpt 4258    X. cxp 4868    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   CCcc 8978   RRcr 8979   1c1 8981    x. cmul 8985   expce 12654    _D cdv 19740
This theorem is referenced by:  expgrowth  27484
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-ef 12660  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744
  Copyright terms: Public domain W3C validator