Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmhm Structured version   Unicode version

Theorem expmhm 16777
 Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expmhm.1 flds
expmhm.2 mulGrpfld
Assertion
Ref Expression
expmhm MndHom
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem expmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcl 11400 . . 3
2 eqid 2437 . . 3
31, 2fmptd 5894 . 2
4 expadd 11423 . . . . 5
543expb 1155 . . . 4
6 nn0addcl 10256 . . . . . 6
76adantl 454 . . . . 5
8 oveq2 6090 . . . . . 6
9 ovex 6107 . . . . . 6
108, 2, 9fvmpt 5807 . . . . 5
117, 10syl 16 . . . 4
12 oveq2 6090 . . . . . . 7
13 ovex 6107 . . . . . . 7
1412, 2, 13fvmpt 5807 . . . . . 6
15 oveq2 6090 . . . . . . 7
16 ovex 6107 . . . . . . 7
1715, 2, 16fvmpt 5807 . . . . . 6
1814, 17oveqan12d 6101 . . . . 5
1918adantl 454 . . . 4
205, 11, 193eqtr4d 2479 . . 3
2120ralrimivva 2799 . 2
22 0nn0 10237 . . . 4
23 oveq2 6090 . . . . 5
24 ovex 6107 . . . . 5
2523, 2, 24fvmpt 5807 . . . 4
2622, 25ax-mp 8 . . 3
27 exp0 11387 . . 3
2826, 27syl5eq 2481 . 2
29 nn0subm 16755 . . . . 5 SubMndfld
30 expmhm.1 . . . . . 6 flds
3130submmnd 14755 . . . . 5 SubMndfld
3229, 31ax-mp 8 . . . 4
33 cnrng 16724 . . . . 5 fld
34 expmhm.2 . . . . . 6 mulGrpfld
3534rngmgp 15671 . . . . 5 fld
3633, 35ax-mp 8 . . . 4
3732, 36pm3.2i 443 . . 3
3830submbas 14756 . . . . 5 SubMndfld
3929, 38ax-mp 8 . . . 4
40 cnfldbas 16708 . . . . 5 fld
4134, 40mgpbas 15655 . . . 4
42 cnfldadd 16709 . . . . . 6 fld
4330, 42ressplusg 13572 . . . . 5 SubMndfld
4429, 43ax-mp 8 . . . 4
45 cnfldmul 16710 . . . . 5 fld
4634, 45mgpplusg 15653 . . . 4
47 cnfld0 16726 . . . . . 6 fld
4830, 47subm0 14757 . . . . 5 SubMndfld
4929, 48ax-mp 8 . . . 4
50 cnfld1 16727 . . . . 5 fld
5134, 50rngidval 15667 . . . 4
5239, 41, 44, 46, 49, 51ismhm 14741 . . 3 MndHom
5337, 52mpbiran 886 . 2 MndHom
543, 21, 28, 53syl3anbrc 1139 1 MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706   cmpt 4267  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082  cc 8989  cc0 8991  c1 8992   caddc 8994   cmul 8996  cn0 10222  cexp 11383  cbs 13470   ↾s cress 13471   cplusg 13530  c0g 13724  cmnd 14685   MndHom cmhm 14737  SubMndcsubmnd 14738  mulGrpcmgp 15649  crg 15661  ℂfldccnfld 16704 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-addf 9070  ax-mulf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-seq 11325  df-exp 11384  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-cmn 15415  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-cring 15665  df-ur 15666  df-cnfld 16705
 Copyright terms: Public domain W3C validator