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Theorem expmulnbnd 11249
 Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 is not bounded by any linear function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
expmulnbnd
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem expmulnbnd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 9831 . . . . 5
2 simp1 955 . . . . 5
3 remulcl 8838 . . . . 5
41, 2, 3sylancr 644 . . . 4
5 simp3 957 . . . . 5
6 1re 8853 . . . . . 6
7 simp2 956 . . . . . 6
8 difrp 10403 . . . . . 6
96, 7, 8sylancr 644 . . . . 5
105, 9mpbid 201 . . . 4
114, 10rerpdivcld 10433 . . 3
12 expnbnd 11246 . . 3
1311, 7, 5, 12syl3anc 1182 . 2
14 2nn0 9998 . . . . . 6
15 nnnn0 9988 . . . . . . 7
1615ad2antrl 708 . . . . . 6
17 nn0mulcl 10016 . . . . . 6
1814, 16, 17sylancr 644 . . . . 5
192ad2antrr 706 . . . . . . . 8
20 2nn 9893 . . . . . . . . . . 11
21 simprl 732 . . . . . . . . . . 11
22 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . . 11
2320, 21, 22sylancr 644 . . . . . . . . . 10
24 nnuz 10279 . . . . . . . . . . 11
2524uztrn2 10261 . . . . . . . . . 10
2623, 25sylan 457 . . . . . . . . 9
2726nnred 9777 . . . . . . . 8
2819, 27remulcld 8879 . . . . . . 7
29 0re 8854 . . . . . . . . . 10
30 ifcl 3614 . . . . . . . . . 10
3119, 29, 30sylancl 643 . . . . . . . . 9
32 remulcl 8838 . . . . . . . . 9
331, 31, 32sylancr 644 . . . . . . . 8
34 simplrl 736 . . . . . . . . . 10
3534nnred 9777 . . . . . . . . 9
3627, 35resubcld 9227 . . . . . . . 8
3733, 36remulcld 8879 . . . . . . 7
387ad2antrr 706 . . . . . . . 8
3926nnnn0d 10034 . . . . . . . 8
40 reexpcl 11136 . . . . . . . 8
4138, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . 7
42 remulcl 8838 . . . . . . . . . 10
431, 36, 42sylancr 644 . . . . . . . . 9
4439nn0ge0d 10037 . . . . . . . . 9
45 max1 10530 . . . . . . . . . 10
4629, 19, 45sylancr 644 . . . . . . . . 9
47 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . 14
481, 35, 47sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13
49 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . 14
5049adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
5148, 27, 27, 50leadd2dd 9403 . . . . . . . . . . . 12
5227recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13
53522timesd 9970 . . . . . . . . . . . 12
5451, 53breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . 11
55 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . 13
561, 27, 55sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12
57 leaddsub 9266 . . . . . . . . . . . 12
5827, 48, 56, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
5954, 58mpbid 201 . . . . . . . . . 10
60 2cn 9832 . . . . . . . . . . . 12
6160a1i 10 . . . . . . . . . . 11
6235recnd 8877 . . . . . . . . . . 11
6361, 52, 62subdid 9251 . . . . . . . . . 10
6459, 63breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9
65 max2 10532 . . . . . . . . . 10
6629, 19, 65sylancr 644 . . . . . . . . 9
6727, 43, 19, 31, 44, 46, 64, 66lemul12bd 9716 . . . . . . . 8
6819recnd 8877 . . . . . . . . 9
6968, 52mulcomd 8872 . . . . . . . 8
7031recnd 8877 . . . . . . . . 9
7136recnd 8877 . . . . . . . . 9
7261, 70, 71mul32d 9038 . . . . . . . 8
7367, 69, 723brtr4d 4069 . . . . . . 7
7410ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
7574rpred 10406 . . . . . . . . . 10
7675, 36remulcld 8879 . . . . . . . . 9
7734nnnn0d 10034 . . . . . . . . . 10
78 reexpcl 11136 . . . . . . . . . 10
7938, 77, 78syl2anc 642 . . . . . . . . 9
8076, 79remulcld 8879 . . . . . . . 8
81 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12
821, 19, 3sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13
8382, 79, 74ltdivmuld 10453 . . . . . . . . . . . 12
8481, 83mpbid 201 . . . . . . . . . . 11
855ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
86 posdif 9283 . . . . . . . . . . . . . 14
876, 38, 86sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13
8885, 87mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12
8934nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . 13
9029a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
916a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
92 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
9490, 91, 38, 93, 85lttrd 8993 . . . . . . . . . . . . 13
95 expgt0 11151 . . . . . . . . . . . . 13
9638, 89, 94, 95syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
9775, 79, 88, 96mulgt0d 8987 . . . . . . . . . . 11
98 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13
9998breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12
10060mul01i 9018 . . . . . . . . . . . . . 14
101 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14
102100, 101syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . 13
103102breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12
10499, 103ifboth 3609 . . . . . . . . . . 11
10584, 97, 104syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
10675, 79remulcld 8879 . . . . . . . . . . 11
107 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
108622timesd 9970 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109108fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15
110107, 109eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . 14
111 eluzsub 10273 . . . . . . . . . . . . . 14
11289, 89, 110, 111syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
11324uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . 13
11434, 112, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
115114nngt0d 9805 . . . . . . . . . . 11
116 ltmul1 9622 . . . . . . . . . . 11
11733, 106, 36, 115, 116syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10
118105, 117mpbid 201 . . . . . . . . 9
11975recnd 8877 . . . . . . . . . 10
12079recnd 8877 . . . . . . . . . 10
121119, 120, 71mul32d 9038 . . . . . . . . 9
122118, 121breqtrd 4063 . . . . . . . 8
123 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . 12
12476, 123syl 15 . . . . . . . . . . 11
125114nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . 12
126 reexpcl 11136 . . . . . . . . . . . 12
12738, 125, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
12876ltp1d 9703 . . . . . . . . . . 11
12990, 38, 94ltled 8983 . . . . . . . . . . . 12
130 bernneq2 11244 . . . . . . . . . . . 12
13138, 125, 129, 130syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
13276, 124, 127, 128, 131ltletrd 8992 . . . . . . . . . 10
13338recnd 8877 . . . . . . . . . . 11
13494gt0ne0d 9353 . . . . . . . . . . 11
135 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . 12
136135adantl 452 . . . . . . . . . . 11
137 expsub 11165 . . . . . . . . . . 11
138133, 134, 136, 89, 137syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10
139132, 138breqtrd 4063 . . . . . . . . 9
140 ltmuldiv 9642 . . . . . . . . . 10
14176, 41, 79, 96, 140syl112anc 1186 . . . . . . . . 9
142139, 141mpbird 223 . . . . . . . 8
14337, 80, 41, 122, 142lttrd 8993 . . . . . . 7
14428, 37, 41, 73, 143lelttrd 8990 . . . . . 6
145144ralrimiva 2639 . . . . 5
146 fveq2 5541 . . . . . . 7
147146raleqdv 2755 . . . . . 6
148147rspcev 2897 . . . . 5
14918, 145, 148syl2anc 642 . . . 4
150149expr 598 . . 3
151150rexlimdva 2680 . 2
15213, 151mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cif 3578   class class class wbr 4039  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cexp 11120 This theorem is referenced by:  geomulcvg  12348 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121
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