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Theorem expmulnbnd 11233
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 is not bounded by any linear function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
expmulnbnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k

Proof of Theorem expmulnbnd
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 9815 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
3 remulcl 8822 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
41, 2, 3sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR )
5 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  B )
6 1re 8837 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
7 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR )
8 difrp 10387 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  <  B  <->  ( B  -  1 )  e.  RR+ ) )
96, 7, 8sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  <  B  <->  ( B  -  1 )  e.  RR+ ) )
105, 9mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR+ )
114, 10rerpdivcld 10417 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( 2  x.  A
)  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR )
12 expnbnd 11230 . . 3  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
1311, 7, 5, 12syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
14 2nn0 9982 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
15 nnnn0 9972 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
1615ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
17 nn0mulcl 10000 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
1814, 16, 17sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e. 
NN0 )
192ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  e.  RR )
20 2nn 9877 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
21 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  n  e.  NN )
22 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
2320, 21, 22sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN )
24 nnuz 10263 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2524uztrn2 10245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n
) ) )  -> 
k  e.  NN )
2623, 25sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  NN )
2726nnred 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  RR )
2819, 27remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  e.  RR )
29 0re 8838 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
30 ifcl 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 )  e.  RR )
3119, 29, 30sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  RR )
32 remulcl 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  RR )
331, 31, 32sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 ) )  e.  RR )
34 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  NN )
3534nnred 9761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  RR )
3627, 35resubcld 9211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  RR )
3733, 36remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  e.  RR )
387ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  e.  RR )
3926nnnn0d 10018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
40 reexpcl 11120 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ k
)  e.  RR )
4138, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
k )  e.  RR )
42 remulcl 8822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
431, 36, 42sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
4439nn0ge0d 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  k
)
45 max1 10514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  A ,  A ,  0 ) )
4629, 19, 45sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )
47 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  RR )
481, 35, 47sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
49 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  ->  ( 2  x.  n )  <_ 
k )
5049adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  <_  k
)
5148, 27, 27, 50leadd2dd 9387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  +  ( 2  x.  n
) )  <_  (
k  +  k ) )
5227recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  CC )
53522timesd 9954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
5451, 53breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  +  ( 2  x.  n
) )  <_  (
2  x.  k ) )
55 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  RR )
561, 27, 55sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
57 leaddsub 9250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  k
)  e.  RR )  ->  ( ( k  +  ( 2  x.  n ) )  <_ 
( 2  x.  k
)  <->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) ) )
5827, 48, 56, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( k  +  ( 2  x.  n ) )  <_ 
( 2  x.  k
)  <->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) ) )
5954, 58mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) )
60 2cn 9816 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
6160a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  2  e.  CC )
6235recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  CC )
6361, 52, 62subdid 9235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  =  ( ( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) )
6459, 63breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  <_  (
2  x.  ( k  -  n ) ) )
65 max2 10516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if (
0  <_  A ,  A ,  0 ) )
6629, 19, 65sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  <_  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )
6727, 43, 19, 31, 44, 46, 64, 66lemul12bd 9700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  x.  A )  <_  (
( 2  x.  (
k  -  n ) )  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
6819recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  e.  CC )
6968, 52mulcomd 8856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  =  ( k  x.  A ) )
7031recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  CC )
7136recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  CC )
7261, 70, 71mul32d 9022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  ( k  -  n
) )  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
7367, 69, 723brtr4d 4053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  <_  (
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) ) )
7410ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  RR+ )
7574rpred 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  RR )
7675, 36remulcld 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
7734nnnn0d 10018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
78 reexpcl 11120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( B ^ n
)  e.  RR )
7938, 77, 78syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
n )  e.  RR )
8076, 79remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^ n
) )  e.  RR )
81 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
821, 19, 3sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
8382, 79, 74ltdivmuld 10437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  /  ( B  - 
1 ) )  < 
( B ^ n
)  <->  ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) ) )
8481, 83mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
855ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  1  <  B
)
86 posdif 9267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  <  B  <->  0  <  ( B  - 
1 ) ) )
876, 38, 86sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 1  < 
B  <->  0  <  ( B  -  1 ) ) )
8885, 87mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  ( B  -  1 ) )
8934nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
9029a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  e.  RR )
916a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  1  e.  RR )
92 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  1
9392a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  1
)
9490, 91, 38, 93, 85lttrd 8977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  B
)
95 expgt0 11135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  ZZ  /\  0  <  B )  ->  0  <  ( B ^ n
) )
9638, 89, 94, 95syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  ( B ^ n ) )
9775, 79, 88, 96mulgt0d 8971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
98 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 2  x.  A
)  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
9998breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) )  <-> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) ) )
10060mul01i 9002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
101 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 2  x.  0 )  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
102100, 101syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
0  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
103102breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 0  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) )  <-> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) ) )
10499, 103ifboth 3596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  /\  0  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) ) )  -> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) )
10584, 97, 104syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 ) )  < 
( ( B  - 
1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
10675, 79remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  e.  RR )
107 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )
108622timesd 9954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( n  +  n ) )
109108fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  n
) ) )
110107, 109eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  +  n ) ) )
111 eluzsub 10257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
11289, 89, 110, 111syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
11324uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( k  -  n
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
( k  -  n
)  e.  NN )
11434, 112, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  NN )
115114nngt0d 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  (
k  -  n ) )
116 ltmul1 9606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  RR  /\  ( ( B  - 
1 )  x.  ( B ^ n ) )  e.  RR  /\  (
( k  -  n
)  e.  RR  /\  0  <  ( k  -  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  <->  ( (
2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) ) ) )
11733, 106, 36, 115, 116syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  <->  ( (
2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) ) ) )
118105, 117mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  x.  (
k  -  n ) ) )
11975recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  CC )
12079recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
n )  e.  CC )
121119, 120, 71mul32d 9022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) )  =  ( ( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  x.  ( B ^ n ) ) )
122118, 121breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  x.  ( B ^ n ) ) )
123 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  e.  RR  ->  (
( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  +  1 )  e.  RR )
12476, 123syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  +  1 )  e.  RR )
125114nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  NN0 )
126 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ (
k  -  n ) )  e.  RR )
12738, 125, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
( k  -  n
) )  e.  RR )
12876ltp1d 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  +  1 ) )
12990, 38, 94ltled 8967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  B
)
130 bernneq2 11228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  NN0  /\  0  <_  B )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
13138, 125, 129, 130syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
13276, 124, 127, 128, 131ltletrd 8976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
13338recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  e.  CC )
13494gt0ne0d 9337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  =/=  0
)
135 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  ->  k  e.  ZZ )
136135adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
137 expsub 11149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( B ^ (
k  -  n ) )  =  ( ( B ^ k )  /  ( B ^
n ) ) )
138133, 134, 136, 89, 137syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
( k  -  n
) )  =  ( ( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) )
139132, 138breqtrd 4047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) )
140 ltmuldiv 9626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  e.  RR  /\  ( B ^ k )  e.  RR  /\  (
( B ^ n
)  e.  RR  /\  0  <  ( B ^
n ) ) )  ->  ( ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^
n ) )  < 
( B ^ k
)  <->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) ) )
14176, 41, 79, 96, 140syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^
n ) )  < 
( B ^ k
)  <->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) ) )
142139, 141mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^ n
) )  <  ( B ^ k ) )
14337, 80, 41, 122, 142lttrd 8977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( B ^ k
) )
14428, 37, 41, 73, 143lelttrd 8974 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  <  ( B ^ k ) )
145144ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k ) )
146 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( 2  x.  n )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )
147146raleqdv 2742 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( 2  x.  n )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k ) ) )
148147rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n
) ) ( A  x.  k )  < 
( B ^ k
) )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
14918, 145, 148syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
150149expr 598 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A  x.  k )  < 
( B ^ k
) ) )
151150rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A  x.  k )  < 
( B ^ k
) ) )
15213, 151mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  geomulcvg  12332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105
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