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Theorem expmulnbnd 11513
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 is not bounded by any linear function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
expmulnbnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k

Proof of Theorem expmulnbnd
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10071 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
3 remulcl 9077 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
41, 2, 3sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR )
5 simp3 960 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  B )
6 1re 9092 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
7 simp2 959 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR )
8 difrp 10647 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  <  B  <->  ( B  -  1 )  e.  RR+ ) )
96, 7, 8sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  <  B  <->  ( B  -  1 )  e.  RR+ ) )
105, 9mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR+ )
114, 10rerpdivcld 10677 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( 2  x.  A
)  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR )
12 expnbnd 11510 . . 3  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
1311, 7, 5, 12syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
14 2nn0 10240 . . . 4  |-  2  e.  NN0
15 nnnn0 10230 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
1615ad2antrl 710 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
17 nn0mulcl 10258 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
1814, 16, 17sylancr 646 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e. 
NN0 )
192ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  e.  RR )
20 2nn 10135 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
21 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  n  e.  NN )
22 nnmulcl 10025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
2320, 21, 22sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN )
24 nnuz 10523 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2524uztrn2 10505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n
) ) )  -> 
k  e.  NN )
2623, 25sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  NN )
2726nnred 10017 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  RR )
2819, 27remulcld 9118 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  e.  RR )
29 0re 9093 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
30 ifcl 3777 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 )  e.  RR )
3119, 29, 30sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  RR )
32 remulcl 9077 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  RR )
331, 31, 32sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 ) )  e.  RR )
34 simplrl 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  NN )
3534nnred 10017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  RR )
3627, 35resubcld 9467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  RR )
3733, 36remulcld 9118 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  e.  RR )
387ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  e.  RR )
3926nnnn0d 10276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
40 reexpcl 11400 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ k
)  e.  RR )
4138, 39, 40syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
k )  e.  RR )
42 remulcl 9077 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
431, 36, 42sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
4439nn0ge0d 10279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  k
)
45 max1 10775 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  A ,  A ,  0 ) )
4629, 19, 45sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )
47 remulcl 9077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  RR )
481, 35, 47sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
49 eluzle 10500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  ->  ( 2  x.  n )  <_ 
k )
5049adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  <_  k
)
5148, 27, 27, 50leadd2dd 9643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  +  ( 2  x.  n
) )  <_  (
k  +  k ) )
5227recnd 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  CC )
53522timesd 10212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
5451, 53breqtrrd 4240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  +  ( 2  x.  n
) )  <_  (
2  x.  k ) )
55 remulcl 9077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  RR )
561, 27, 55sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
57 leaddsub 9506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  k
)  e.  RR )  ->  ( ( k  +  ( 2  x.  n ) )  <_ 
( 2  x.  k
)  <->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) ) )
5827, 48, 56, 57syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( k  +  ( 2  x.  n ) )  <_ 
( 2  x.  k
)  <->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) ) )
5954, 58mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) )
60 2cn 10072 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
6160a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  2  e.  CC )
6235recnd 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  CC )
6361, 52, 62subdid 9491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  =  ( ( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) )
6459, 63breqtrrd 4240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  <_  (
2  x.  ( k  -  n ) ) )
65 max2 10777 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if (
0  <_  A ,  A ,  0 ) )
6629, 19, 65sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  <_  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )
6727, 43, 19, 31, 44, 46, 64, 66lemul12bd 9956 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  x.  A )  <_  (
( 2  x.  (
k  -  n ) )  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
6819recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  e.  CC )
6968, 52mulcomd 9111 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  =  ( k  x.  A ) )
7031recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  CC )
7136recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  CC )
7261, 70, 71mul32d 9278 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  ( k  -  n
) )  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
7367, 69, 723brtr4d 4244 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  <_  (
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) ) )
7410ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  RR+ )
7574rpred 10650 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  RR )
7675, 36remulcld 9118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
7734nnnn0d 10276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
78 reexpcl 11400 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( B ^ n
)  e.  RR )
7938, 77, 78syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
n )  e.  RR )
8076, 79remulcld 9118 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^ n
) )  e.  RR )
81 simplrr 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
821, 19, 3sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
8382, 79, 74ltdivmuld 10697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  /  ( B  - 
1 ) )  < 
( B ^ n
)  <->  ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) ) )
8481, 83mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
855ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  1  <  B
)
86 posdif 9523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  <  B  <->  0  <  ( B  - 
1 ) ) )
876, 38, 86sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 1  < 
B  <->  0  <  ( B  -  1 ) ) )
8885, 87mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  ( B  -  1 ) )
8934nnzd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
9029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  e.  RR )
916a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  1  e.  RR )
92 0lt1 9552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  1
)
9490, 91, 38, 93, 85lttrd 9233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  B
)
95 expgt0 11415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  ZZ  /\  0  <  B )  ->  0  <  ( B ^ n
) )
9638, 89, 94, 95syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  ( B ^ n ) )
9775, 79, 88, 96mulgt0d 9227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
98 oveq2 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 2  x.  A
)  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
9998breq1d 4224 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) )  <-> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) ) )
10060mul01i 9258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
101 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 2  x.  0 )  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
102100, 101syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
0  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
103102breq1d 4224 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 0  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) )  <-> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) ) )
10499, 103ifboth 3772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  /\  0  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) ) )  -> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) )
10584, 97, 104syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 ) )  < 
( ( B  - 
1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
10675, 79remulcld 9118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  e.  RR )
107 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )
108622timesd 10212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( n  +  n ) )
109108fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  n
) ) )
110107, 109eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  +  n ) ) )
111 eluzsub 10517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
11289, 89, 110, 111syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
11324uztrn2 10505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( k  -  n
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
( k  -  n
)  e.  NN )
11434, 112, 113syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  NN )
115114nngt0d 10045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  (
k  -  n ) )
116 ltmul1 9862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  RR  /\  ( ( B  - 
1 )  x.  ( B ^ n ) )  e.  RR  /\  (
( k  -  n
)  e.  RR  /\  0  <  ( k  -  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  <->  ( (
2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) ) ) )
11733, 106, 36, 115, 116syl112anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  <->  ( (
2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) ) ) )
118105, 117mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  x.  (
k  -  n ) ) )
11975recnd 9116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  CC )
12079recnd 9116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
n )  e.  CC )
121119, 120, 71mul32d 9278 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) )  =  ( ( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  x.  ( B ^ n ) ) )
122118, 121breqtrd 4238 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  x.  ( B ^ n ) ) )
123 peano2re 9241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  e.  RR  ->  (
( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  +  1 )  e.  RR )
12476, 123syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  +  1 )  e.  RR )
125114nnnn0d 10276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  NN0 )
126 reexpcl 11400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ (
k  -  n ) )  e.  RR )
12738, 125, 126syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
( k  -  n
) )  e.  RR )
12876ltp1d 9943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  +  1 ) )
12990, 38, 94ltled 9223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  B
)
130 bernneq2 11508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  NN0  /\  0  <_  B )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
13138, 125, 129, 130syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
13276, 124, 127, 128, 131ltletrd 9232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
13338recnd 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  e.  CC )
13494gt0ne0d 9593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  =/=  0
)
135 eluzelz 10498 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  ->  k  e.  ZZ )
136135adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
137 expsub 11429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( B ^ (
k  -  n ) )  =  ( ( B ^ k )  /  ( B ^
n ) ) )
138133, 134, 136, 89, 137syl22anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
( k  -  n
) )  =  ( ( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) )
139132, 138breqtrd 4238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) )
140 ltmuldiv 9882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  e.  RR  /\  ( B ^ k )  e.  RR  /\  (
( B ^ n
)  e.  RR  /\  0  <  ( B ^
n ) ) )  ->  ( ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^
n ) )  < 
( B ^ k
)  <->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) ) )
14176, 41, 79, 96, 140syl112anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^
n ) )  < 
( B ^ k
)  <->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) ) )
142139, 141mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^ n
) )  <  ( B ^ k ) )
14337, 80, 41, 122, 142lttrd 9233 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( B ^ k
) )
14428, 37, 41, 73, 143lelttrd 9230 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  <  ( B ^ k ) )
145144ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k ) )
146 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( j  =  ( 2  x.  n )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )
147146raleqdv 2912 . . . 4  |-  ( j  =  ( 2  x.  n )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k ) ) )
148147rspcev 3054 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n
) ) ( A  x.  k )  < 
( B ^ k
) )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
14918, 145, 148syl2anc 644 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
15013, 149rexlimddv 2836 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   ifcif 3741   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   ^cexp 11384
This theorem is referenced by:  geomulcvg  12655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385
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