MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnass Unicode version

Theorem expnass 11208
Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
expnass  |-  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )

Proof of Theorem expnass
StepHypRef Expression
1 3cn 9818 . . 3  |-  3  e.  CC
2 3nn0 9983 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 expmul 11147 . . 3  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 3  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^
3 ) )
41, 2, 2, 3mp3an 1277 . 2  |-  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )
5 3re 9817 . . 3  |-  3  e.  RR
62, 2nn0mulcli 10002 . . . 4  |-  ( 3  x.  3 )  e. 
NN0
76nn0zi 10048 . . 3  |-  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ
82, 2nn0expcli 11129 . . . 4  |-  ( 3 ^ 3 )  e. 
NN0
98nn0zi 10048 . . 3  |-  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ
10 1lt3 9888 . . . 4  |-  1  <  3
111sqvali 11183 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  =  ( 3  x.  3 )
12 2z 10054 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
13 3nn 9878 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
1413nnzi 10047 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
15 2lt3 9887 . . . . . . 7  |-  2  <  3
16 ltexp2a 11153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  3  /\  2  <  3
) )  ->  (
3 ^ 2 )  <  ( 3 ^ 3 ) )
1710, 15, 16mpanr12 666 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
3 ^ 2 )  <  ( 3 ^ 3 ) )
185, 12, 14, 17mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  < 
( 3 ^ 3 )
1911, 18eqbrtrri 4044 . . . 4  |-  ( 3  x.  3 )  < 
( 3 ^ 3 )
20 ltexp2a 11153 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  3  /\  ( 3  x.  3 )  < 
( 3 ^ 3 ) ) )  -> 
( 3 ^ (
3  x.  3 ) )  <  ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
2110, 19, 20mpanr12 666 . . 3  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ )  ->  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  <  (
3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
225, 7, 9, 21mp3an 1277 . 2  |-  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )
234, 22eqbrtrri 4044 1  |-  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867   2c2 9795   3c3 9796   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator