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Theorem expnbnd 11435
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
expnbnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^ k ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k

Proof of Theorem expnbnd
StepHypRef Expression
1 1nn 9943 . . 3  |-  1  e.  NN
2 1re 9023 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3 lttr 9085 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A  <  1  /\  1  <  B )  ->  A  <  B
) )
42, 3mp3an2 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <  1  /\  1  < 
B )  ->  A  <  B ) )
54exp4b 591 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( A  <  1  -> 
( 1  <  B  ->  A  <  B ) ) ) )
65com34 79 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 1  <  B  -> 
( A  <  1  ->  A  <  B ) ) ) )
763imp1 1166 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  A  <  1 )  ->  A  <  B )
8 recn 9013 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
9 exp1 11314 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
11103ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
1211adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  A  <  1 )  -> 
( B ^ 1 )  =  B )
137, 12breqtrrd 4179 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  A  <  1 )  ->  A  <  ( B ^
1 ) )
14 oveq2 6028 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ 1 ) )
1514breq2d 4165 . . . 4  |-  ( k  =  1  ->  ( A  <  ( B ^
k )  <->  A  <  ( B ^ 1 ) ) )
1615rspcev 2995 . . 3  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A  <  ( B ^
1 ) )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
171, 13, 16sylancr 645 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  A  <  1 )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
18 peano2rem 9299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
1918adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  1  <  B ) )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
20 peano2rem 9299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
2120adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
( B  -  1 )  e.  RR )
2221adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  1  <  B ) )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
23 posdif 9453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  <  B  <->  0  <  ( B  - 
1 ) ) )
242, 23mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR  ->  (
1  <  B  <->  0  <  ( B  -  1 ) ) )
2524biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
0  <  ( B  -  1 ) )
2625gt0ne0d 9523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
( B  -  1 )  =/=  0 )
2726adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  1  <  B ) )  ->  ( B  -  1 )  =/=  0 )
2819, 22, 27redivcld 9774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  1  <  B ) )  ->  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) )  e.  RR )
2928adantll 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR )
3018adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
31 subge0 9473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  1 )  <->  1  <_  A )
)
322, 31mpan2 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( A  -  1 )  <->  1  <_  A ) )
3332biimparc 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  ( A  -  1 ) )
3430, 33jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( A  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  1 ) ) )
3521, 25jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
( ( B  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  1 ) ) )
36 divge0 9811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  1 ) )  /\  ( ( B  -  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( B  -  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )
3734, 35, 36syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )
38 flge0nn0 11152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  -> 
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
3929, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
40 nn0p1nn 10191 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
4139, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
42 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  A  e.  RR )
4321adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  RR )
44 peano2nn0 10192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
4539, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN0 )
4645nn0red 10207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
4743, 46remulcld 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
48 peano2re 9171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR  ->  (
( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 )  e.  RR )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 )  e.  RR )
50 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  B  e.  RR )
51 reexpcl 11325 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( B ^ (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
5250, 45, 51syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( B ^ (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
53 flltp1 11136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR  ->  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )
5429, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )
5530adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( A  -  1 )  e.  RR )
5625adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
0  <  ( B  -  1 ) )
57 ltdivmul 9814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( B  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  1 ) ) )  ->  ( (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 )  <->  ( A  -  1 )  < 
( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) ) )
5855, 46, 43, 56, 57syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) )  <  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  <-> 
( A  -  1 )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) ) )
5954, 58mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( A  -  1 )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
60 ltsubadd 9430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( A  - 
1 )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  <-> 
A  <  ( (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 ) ) )
612, 60mp3an2 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( A  -  1 )  < 
( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  <->  A  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 ) ) )
6242, 47, 61syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  <-> 
A  <  ( (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 ) ) )
6359, 62mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  A  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 ) )
64 0lt1 9482 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
65 0re 9024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
66 lttr 9085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  B )  ->  0  <  B
) )
6765, 2, 66mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  B )  ->  0  <  B
) )
6864, 67mpani 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  (
1  <  B  ->  0  <  B ) )
69 ltle 9096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  B  ->  0  <_  B )
)
7065, 69mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0  <  B  ->  0  <_  B ) )
7168, 70syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  (
1  <  B  ->  0  <_  B ) )
7271imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
0  <_  B )
7372adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
0  <_  B )
74 bernneq2 11433 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN0  /\  0  <_  B )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
7550, 45, 73, 74syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
7642, 49, 52, 63, 75ltletrd 9162 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  A  <  ( B ^
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
77 oveq2 6028 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 )  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
7877breq2d 4165 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 )  ->  ( A  <  ( B ^
k )  <->  A  <  ( B ^ ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7978rspcev 2995 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  A  <  ( B ^
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
8041, 76, 79syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
8180exp43 596 . . . 4  |-  ( 1  <_  A  ->  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 1  <  B  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) ) ) ) )
8281com4l 80 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 1  <  B  -> 
( 1  <_  A  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) ) ) ) )
83823imp1 1166 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  1  <_  A )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
84 simp1 957 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
852a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  e.  RR )
8617, 83, 84, 85ltlecasei 9114 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^ k ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   E.wrex 2650   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   NN0cn0 10153   |_cfl 11128   ^cexp 11309
This theorem is referenced by:  expnlbnd  11436  expmulnbnd  11438  bitsfzolem  12873  bitsfi  12876  pclem  13139  aaliou3lem8  20129  ostth2lem1  21179  ostth3  21199
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310
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