Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnlbnd2 Structured version   Unicode version

Theorem expnlbnd2 11500
 Description: The reciprocal of exponentiation with a mantissa greater than 1 has no lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expnlbnd2
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem expnlbnd2
StepHypRef Expression
1 expnlbnd 11499 . 2
2 simpl2 961 . . . . . . . 8
3 simpl3 962 . . . . . . . . 9
4 1re 9080 . . . . . . . . . 10
5 ltle 9153 . . . . . . . . . 10
64, 2, 5sylancr 645 . . . . . . . . 9
73, 6mpd 15 . . . . . . . 8
8 simprr 734 . . . . . . . 8
9 leexp2a 11425 . . . . . . . 8
102, 7, 8, 9syl3anc 1184 . . . . . . 7
11 0re 9081 . . . . . . . . . . . 12
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11
134a1i 11 . . . . . . . . . . 11
14 0lt1 9540 . . . . . . . . . . . 12
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11
1612, 13, 2, 15, 3lttrd 9221 . . . . . . . . . 10
172, 16elrpd 10636 . . . . . . . . 9
18 nnz 10293 . . . . . . . . . 10
1918ad2antrl 709 . . . . . . . . 9
20 rpexpcl 11390 . . . . . . . . 9
2117, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . 8
22 eluzelz 10486 . . . . . . . . . 10
2322ad2antll 710 . . . . . . . . 9
24 rpexpcl 11390 . . . . . . . . 9
2517, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . . 8
2621, 25lerecd 10657 . . . . . . 7
2710, 26mpbid 202 . . . . . 6
2825rprecred 10649 . . . . . . 7
2921rprecred 10649 . . . . . . 7
30 simpl1 960 . . . . . . . 8
3130rpred 10638 . . . . . . 7
32 lelttr 9155 . . . . . . 7
3328, 29, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . 6
3427, 33mpand 657 . . . . 5
3534anassrs 630 . . . 4
3635ralrimdva 2788 . . 3
3736reximdva 2810 . 2
381, 37mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8979  cc0 8980  c1 8981   clt 9110   cle 9111   cdiv 9667  cn 9990  cz 10272  cuz 10478  crp 10602  cexp 11372 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373
 Copyright terms: Public domain W3C validator