MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnnval Structured version   Unicode version

Theorem expnnval 11375
Description: Value of exponentiation to positive integer powers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expnnval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ N
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  N ) )

Proof of Theorem expnnval
StepHypRef Expression
1 nnz 10293 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 expval 11374 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N
)  =  if ( N  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  N , 
(  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  N
) ,  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) ) )
31, 2sylan2 461 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ N
)  =  if ( N  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  N , 
(  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  N
) ,  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) ) )
4 nnne0 10022 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
54neneqd 2614 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
6 iffalse 3738 . . . . 5  |-  ( -.  N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  N ,  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  N ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) )  =  if ( 0  <  N , 
(  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  N
) ,  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( N  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  N ,  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  N ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) )  =  if ( 0  <  N , 
(  seq  1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  N
) ,  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) )
8 nngt0 10019 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
9 iftrue 3737 . . . . 5  |-  ( 0  <  N  ->  if ( 0  <  N ,  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  N ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  N ) )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( 0  <  N ,  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  N ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  N ) )
117, 10eqtrd 2467 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( N  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  N ,  (  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  N ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) )  =  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  N ) )
1211adantl 453 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  if ( N  =  0 ,  1 ,  if ( 0  < 
N ,  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  N ) ,  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) )  =  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  N ) )
133, 12eqtrd 2467 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ N
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3731   {csn 3806   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   0cc0 8980   1c1 8981    x. cmul 8985    < clt 9110   -ucneg 9282    / cdiv 9667   NNcn 9990   ZZcz 10272    seq cseq 11313   ^cexp 11372
This theorem is referenced by:  exp1  11377  expp1  11378  expneg  11379  fprodconst  25292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-z 10273  df-seq 11314  df-exp 11373
  Copyright terms: Public domain W3C validator