Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expus Unicode version

Theorem expus 25365
Description: The exponentiation of a member of a monoid belongs to the underlying set. (Contributed by FL, 12-Dec-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
expmiz.2  |-  F  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  ( a G A ) ) ,  (GId `  G ) )  |`  om )
expus.1  |-  G  e. MndOp
expus.3  |-  A  e.  X
expus.4  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
expus  |-  ( x  e.  om  ->  ( F `  x )  e.  X )
Distinct variable groups:    A, a    F, a    x, F    G, a    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)    X( a)

Proof of Theorem expus
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F `
 x )  =  ( F `  (/) ) )
21eleq1d 2349 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  e.  X  <->  ( F `  (/) )  e.  X
) )
3 fveq2 5525 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
43eleq1d 2349 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  e.  X  <->  ( F `  y )  e.  X
) )
5 fveq2 5525 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 suc  y )
)
65eleq1d 2349 . 2  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( F `  x )  e.  X  <->  ( F `  suc  y
)  e.  X ) )
7 expus.1 . . . 4  |-  G  e. MndOp
8 mndomgmid 21009 . . . 4  |-  ( G  e. MndOp  ->  G  e.  (
Magma  i^i  ExId  ) )
97, 8ax-mp 8 . . 3  |-  G  e.  ( Magma  i^i  ExId  )
10 expus.4 . . . 4  |-  X  =  ran  G
11 expmiz.2 . . . . 5  |-  F  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  ( a G A ) ) ,  (GId `  G ) )  |`  om )
1211expmiz 25363 . . . 4  |-  ( F `
 (/) )  =  (GId
`  G )
1310, 12iorlid 20995 . . 3  |-  ( G  e.  ( Magma  i^i  ExId  )  ->  ( F `  (/) )  e.  X )
149, 13ax-mp 8 . 2  |-  ( F `
 (/) )  e.  X
1511expm 25364 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( F `  suc  y )  =  ( ( F `
 y ) G A ) )
1615adantr 451 . . . 4  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( F `  y )  e.  X )  -> 
( F `  suc  y )  =  ( ( F `  y
) G A ) )
1710mndoio 25358 . . . . . . 7  |-  ( G  e. MndOp  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
187, 17ax-mp 8 . . . . . 6  |-  G :
( X  X.  X
) --> X
19 expus.3 . . . . . 6  |-  A  e.  X
20 fovrn 5990 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( F `  y )  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  y ) G A )  e.  X
)
2118, 19, 20mp3an13 1268 . . . . 5  |-  ( ( F `  y )  e.  X  ->  (
( F `  y
) G A )  e.  X )
2221adantl 452 . . . 4  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( F `  y )  e.  X )  -> 
( ( F `  y ) G A )  e.  X )
2316, 22eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( F `  y )  e.  X )  -> 
( F `  suc  y )  e.  X
)
2423ex 423 . 2  |-  ( y  e.  om  ->  (
( F `  y
)  e.  X  -> 
( F `  suc  y )  e.  X
) )
252, 4, 6, 14, 24finds1 4685 1  |-  ( x  e.  om  ->  ( F `  x )  e.  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151   (/)c0 3455    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   reccrdg 6422  GIdcgi 20854    ExId cexid 20981   Magmacmagm 20985  MndOpcmndo 21004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-gid 20859  df-ass 20980  df-exid 20982  df-mgm 20986  df-sgr 20998  df-mndo 21005
  Copyright terms: Public domain W3C validator