Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expus Unicode version

Theorem expus 25468
Description: The exponentiation of a member of a monoid belongs to the underlying set. (Contributed by FL, 12-Dec-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
expmiz.2  |-  F  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  ( a G A ) ) ,  (GId `  G ) )  |`  om )
expus.1  |-  G  e. MndOp
expus.3  |-  A  e.  X
expus.4  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
expus  |-  ( x  e.  om  ->  ( F `  x )  e.  X )
Distinct variable groups:    A, a    F, a    x, F    G, a    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)    X( a)

Proof of Theorem expus
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F `
 x )  =  ( F `  (/) ) )
21eleq1d 2362 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  e.  X  <->  ( F `  (/) )  e.  X
) )
3 fveq2 5541 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
43eleq1d 2362 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  e.  X  <->  ( F `  y )  e.  X
) )
5 fveq2 5541 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 suc  y )
)
65eleq1d 2362 . 2  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( F `  x )  e.  X  <->  ( F `  suc  y
)  e.  X ) )
7 expus.1 . . . 4  |-  G  e. MndOp
8 mndomgmid 21025 . . . 4  |-  ( G  e. MndOp  ->  G  e.  (
Magma  i^i  ExId  ) )
97, 8ax-mp 8 . . 3  |-  G  e.  ( Magma  i^i  ExId  )
10 expus.4 . . . 4  |-  X  =  ran  G
11 expmiz.2 . . . . 5  |-  F  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  ( a G A ) ) ,  (GId `  G ) )  |`  om )
1211expmiz 25466 . . . 4  |-  ( F `
 (/) )  =  (GId
`  G )
1310, 12iorlid 21011 . . 3  |-  ( G  e.  ( Magma  i^i  ExId  )  ->  ( F `  (/) )  e.  X )
149, 13ax-mp 8 . 2  |-  ( F `
 (/) )  e.  X
1511expm 25467 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( F `  suc  y )  =  ( ( F `
 y ) G A ) )
1615adantr 451 . . . 4  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( F `  y )  e.  X )  -> 
( F `  suc  y )  =  ( ( F `  y
) G A ) )
1710mndoio 25461 . . . . . . 7  |-  ( G  e. MndOp  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
187, 17ax-mp 8 . . . . . 6  |-  G :
( X  X.  X
) --> X
19 expus.3 . . . . . 6  |-  A  e.  X
20 fovrn 6006 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( F `  y )  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  y ) G A )  e.  X
)
2118, 19, 20mp3an13 1268 . . . . 5  |-  ( ( F `  y )  e.  X  ->  (
( F `  y
) G A )  e.  X )
2221adantl 452 . . . 4  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( F `  y )  e.  X )  -> 
( ( F `  y ) G A )  e.  X )
2316, 22eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( F `  y )  e.  X )  -> 
( F `  suc  y )  e.  X
)
2423ex 423 . 2  |-  ( y  e.  om  ->  (
( F `  y
)  e.  X  -> 
( F `  suc  y )  e.  X
) )
252, 4, 6, 14, 24finds1 4701 1  |-  ( x  e.  om  ->  ( F `  x )  e.  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164   (/)c0 3468    e. cmpt 4093   suc csuc 4410   omcom 4672    X. cxp 4703   ran crn 4706    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   reccrdg 6438  GIdcgi 20870    ExId cexid 20997   Magmacmagm 21001  MndOpcmndo 21020
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-gid 20875  df-ass 20996  df-exid 20998  df-mgm 21002  df-sgr 21014  df-mndo 21021
  Copyright terms: Public domain W3C validator