MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exse2 Structured version   Unicode version

Theorem exse2 5240
Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exse2  |-  ( R  e.  V  ->  R Se  A )

Proof of Theorem exse2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2716 . . . . 5  |-  { y  e.  A  |  y R x }  =  { y  |  ( y  e.  A  /\  y R x ) }
2 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
3 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
42, 3breldm 5076 . . . . . . 7  |-  ( y R x  ->  y  e.  dom  R )
54adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x )  -> 
y  e.  dom  R
)
65abssi 3420 . . . . 5  |-  { y  |  ( y  e.  A  /\  y R x ) }  C_  dom  R
71, 6eqsstri 3380 . . . 4  |-  { y  e.  A  |  y R x }  C_  dom  R
8 dmexg 5132 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
9 ssexg 4351 . . . 4  |-  ( ( { y  e.  A  |  y R x }  C_  dom  R  /\  dom  R  e.  _V )  ->  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
107, 8, 9sylancr 646 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
1110ralrimivw 2792 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  A. x  e.  A  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
12 df-se 4544 . 2  |-  ( R Se  A  <->  A. x  e.  A  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
1311, 12sylibr 205 1  |-  ( R  e.  V  ->  R Se  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   class class class wbr 4214   Se wse 4541   dom cdm 4880
This theorem is referenced by:  dfac8clem  7915
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-se 4544  df-cnv 4888  df-dm 4890  df-rn 4891
  Copyright terms: Public domain W3C validator