Theorem f11 3664

Description: Alternate definition of a one-to-one function.

Assertion

Ref	Expression
f11	|- (F:A-1-1->B <-> (F:A-->B /\ A.yE*x xFy))

Distinct variable group:   x,y,F

Proof of Theorem f11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 3195	. 2 |- (F:A-1-1->B <-> (F:A-->B /\ Fun `'F))
2		dffunmo 3531	. . . . 5 |- (Fun `'F <-> (Rel `'F /\ A.yE*x y`'Fx))
3		relcnv 3435	. . . . 5 |- Rel `'F
4	2, 3	mpbiran 728	. . . 4 |- (Fun `'F <-> A.yE*x y`'Fx)
5		visset 1813	. . . . . . 7 |- y e. V
6		visset 1813	. . . . . . 7 |- x e. V
7	5, 6	brcnv 3299	. . . . . 6 |- (y`'Fx <-> xFy)
8	7	mobii 1405	. . . . 5 |- (E*x y`'Fx <-> E*x xFy)
9	8	albii 999	. . . 4 |- (A.yE*x y`'Fx <-> A.yE*x xFy)
10	4, 9	bitr 173	. . 3 |- (Fun `'F <-> A.yE*x xFy)
11	10	anbi2i 480	. 2 |- ((F:A-->B /\ Fun `'F) <-> (F:A-->B /\ A.yE*x xFy))
12	1, 11	bitr 173	1 |- (F:A-1-1->B <-> (F:A-->B /\ A.yE*x xFy))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954  E*wmo 1381   class class class wbr 2619  `'ccnv 3169  Rel wrel 3175  Fun wfun 3176  -->wf 3178  -1-1->wf1 3179

This theorem is referenced by:  f1fv 3874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-fun 3192  df-f1 3195

Copyright terms: Public domain