MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1domg Structured version   Unicode version

Theorem f1domg 7119
Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1domg  |-  ( B  e.  C  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  A  ~<_  B ) )

Proof of Theorem f1domg
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1dmex 5963 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  _V )
2 f1f 5631 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
3 fex 5961 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
42, 3sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  A  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
51, 4syldan 457 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  B  e.  C
)  ->  F  e.  _V )
65expcom 425 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  F  e.  _V )
)
7 f1eq1 5626 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : A -1-1-> B  <->  F : A -1-1-> B ) )
87spcegv 3029 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  E. f  f : A -1-1-> B ) )
96, 8syli 35 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  E. f  f : A -1-1-> B ) )
10 brdomg 7110 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
119, 10sylibrd 226 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  A  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1550    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443    ~<_ cdom 7099
This theorem is referenced by:  f1dom  7121  dom2d  7140  fseqen  7900  infpssrlem5  8179  hashf1  11698  vdwlem12  13352  2ndcdisj  17511  ovolicc2lem4  19408  basellem4  20858  usgraedgleord  21405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-dom 7103
  Copyright terms: Public domain W3C validator