Theorem f1domg 4402

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its range.

Assertion

Ref	Expression
f1domg	|- (A e. C -> (F:A-1-1->B -> A ~<_ B))

Proof of Theorem f1domg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fex 3658	. . . . 5 |- ((F:A-->B /\ A e. C) -> F e. V)
2		f1f 3671	. . . . 5 |- (F:A-1-1->B -> F:A-->B)
3	1, 2	sylan 450	. . . 4 |- ((F:A-1-1->B /\ A e. C) -> F e. V)
4	3	expcom 374	. . 3 |- (A e. C -> (F:A-1-1->B -> F e. V))
5		f1eq1 3666	. . . 4 |- (f = F -> (f:A-1-1->B <-> F:A-1-1->B))
6	5	cla4egv 1866	. . 3 |- (F e. V -> (F:A-1-1->B -> E.f f:A-1-1->B))
7	4, 6	syli 54	. 2 |- (A e. C -> (F:A-1-1->B -> E.f f:A-1-1->B))
8		brprc 2666	. . . . . 6 |- (-. B e. V -> (A ~<_ B <-> A ~<_ A))
9		domrefg 4399	. . . . . 6 |- (A e. C -> A ~<_ A)
10	8, 9	syl5bir 210	. . . . 5 |- (-. B e. V -> (A e. C -> A ~<_ B))
11	10	a1d 12	. . . 4 |- (-. B e. V -> (E.f f:A-1-1->B -> (A e. C -> A ~<_ B)))
12	11	com3r 35	. . 3 |- (A e. C -> (-. B e. V -> (E.f f:A-1-1->B -> A ~<_ B)))
13		brdomg 4382	. . . 4 |- (B e. V -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B))
14	13	biimprd 154	. . 3 |- (B e. V -> (E.f f:A-1-1->B -> A ~<_ B))
15	12, 14	pm2.61d2 129	. 2 |- (A e. C -> (E.f f:A-1-1->B -> A ~<_ B))
16	7, 15	syld 27	1 |- (A e. C -> (F:A-1-1->B -> A ~<_ B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   e. wcel 960  E.wex 982  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  -->wf 3184  -1-1->wf1 3185   ~<_ cdom 4371

This theorem is referenced by:  f1dom2g 4403  f1dom 4405  dom2d 4410  ssdomg 4414

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-en 4374  df-dom 4375

Copyright terms: Public domain