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Theorem f1eqcocnv 6031
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1eqcocnv  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )

Proof of Theorem f1eqcocnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1cocnv1 5708 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A )
)
2 coeq2 5034 . . . . 5  |-  ( F  =  G  ->  ( `' F  o.  F
)  =  ( `' F  o.  G ) )
32eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  (
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A )  <->  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) ) )
41, 3syl5ibcom 213 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( F  =  G  ->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )
54adantr 453 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  ->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) ) )
6 f1fn 5643 . . . . . . 7  |-  ( G : A -1-1-> B  ->  G  Fn  A )
76adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  G  Fn  A )
87adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  G  Fn  A )
9 f1fn 5643 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  Fn  A )
109adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  F  Fn  A )
1110adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  F  Fn  A )
12 equid 1689 . . . . . . . . . 10  |-  x  =  x
13 resieq 5159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x (  _I  |`  A ) x  <->  x  =  x ) )
1412, 13mpbiri 226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x (  _I  |`  A ) x )
1514anidms 628 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  x
(  _I  |`  A ) x )
1615adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x (  _I  |`  A ) x )
17 breq 4217 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A )  ->  (
x ( `' F  o.  G ) x  <->  x (  _I  |`  A ) x ) )
1817ad2antlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x ( `' F  o.  G ) x  <->  x (  _I  |`  A ) x ) )
1916, 18mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x ( `' F  o.  G ) x )
20 fnfun 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  Fn  A  ->  Fun  G )
217, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  Fun  G )
2221adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  Fun  G )
23 fndm 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  Fn  A  ->  dom  G  =  A )
247, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  dom  G  =  A )
2524eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( x  e.  dom  G  <->  x  e.  A ) )
2625biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  G )
27 funopfvb 5773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  G  /\  x  e.  dom  G )  -> 
( ( G `  x )  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) )
2822, 26, 27syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
)  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  G
) )
2928bicomd 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  <->  ( G `  x )  =  y ) )
30 df-br 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x G y  <->  <. x ,  y >.  e.  G
)
31 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( G `  x )  <->  ( G `  x )  =  y )
3229, 30, 313bitr4g 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x G y  <->  y  =  ( G `  x ) ) )
3332biimpd 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x G y  -> 
y  =  ( G `
 x ) ) )
34 fnfun 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  A  ->  Fun  F )
3510, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  Fun  F )
3635adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  Fun  F )
37 fndm 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
3810, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  dom  F  =  A )
3938eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( x  e.  dom  F  <->  x  e.  A ) )
4039biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  F )
41 funopfvb 5773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  x )  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  F ) )
4236, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  x
)  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
) )
43 df-br 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
4442, 43syl6rbbr 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x F y  <->  ( F `  x )  =  y ) )
45 vex 2961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
46 vex 2961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
4745, 46brcnv 5058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `' F x  <->  x F
y )
48 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  y )
4944, 47, 483bitr4g 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
y `' F x  <-> 
y  =  ( F `
 x ) ) )
5049biimpd 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
y `' F x  ->  y  =  ( F `  x ) ) )
5133, 50anim12d 548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( x G y  /\  y `' F x )  ->  (
y  =  ( G `
 x )  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
5251eximdv 1633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y ( x G y  /\  y `' F x )  ->  E. y ( y  =  ( G `  x
)  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
5346, 46brco 5046 . . . . . . . 8  |-  ( x ( `' F  o.  G ) x  <->  E. y
( x G y  /\  y `' F x ) )
54 fvex 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
5554eqvinc 3065 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  x )  =  ( F `  x )  <->  E. y
( y  =  ( G `  x )  /\  y  =  ( F `  x ) ) )
5652, 53, 553imtr4g 263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( `' F  o.  G ) x  -> 
( G `  x
)  =  ( F `
 x ) ) )
5756adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x ( `' F  o.  G ) x  ->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
5819, 57mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  =  ( F `
 x ) )
598, 11, 58eqfnfvd 5833 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  G  =  F )
6059eqcomd 2443 . . 3  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  F  =  G )
6160ex 425 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A )  ->  F  =  G ) )
625, 61impbid 185 1  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   <.cop 3819   class class class wbr 4215    _I cid 4496   `'ccnv 4880   dom cdm 4881    |` cres 4883    o. ccom 4885   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -1-1->wf1 5454   ` cfv 5457
This theorem is referenced by:  weisoeq  6079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465
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