MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1fi Structured version   Unicode version

Theorem f1fi 7395
Description: If a 1-to-1 function has a finite codomain its domain is finite. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1fi  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem f1fi
StepHypRef Expression
1 f1f 5641 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
2 frn 5599 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  ran  F  C_  B )
4 ssfi 7331 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ran  F  C_  B )  ->  ran  F  e.  Fin )
53, 4sylan2 462 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  ran  F  e.  Fin )
6 f1f1orn 5687 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
76adantl 454 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
8 f1ocnv 5689 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> ran  F  ->  `' F : ran  F -1-1-onto-> A )
9 f1ofo 5683 . . 3  |-  ( `' F : ran  F -1-1-onto-> A  ->  `' F : ran  F -onto-> A )
107, 8, 93syl 19 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  `' F : ran  F -onto-> A )
11 fofi 7394 . 2  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  `' F : ran  F -onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
125, 10, 11syl2anc 644 1  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726    C_ wss 3322   `'ccnv 4879   ran crn 4881   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   -onto->wfo 5454   -1-1-onto->wf1o 5455   Fincfn 7111
This theorem is referenced by:  ixpfi2  7407  fsumvma  20999  edgusgranbfin  21461
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-1o 6726  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-fin 7115
  Copyright terms: Public domain W3C validator